Question

Как найти интегралы  1. ʃcos^3(x) / sin^2(x) dx

                                          2. ʃx*sin^2(x^2) dx

                                          3. ʃe^x*cos^2(e^x) dx

Answer 1

 

$int{xcdot sin^2(x^2)}, dx=int{xcdot frac{1-cos(2x^2)}{2}}, dx=frac{1}{2}int{x(1-cos(2x^2))}, dx= \ =frac{1}{2}int{(x-xcos(2x^2))}, dx=frac{1}{2}(int{x}, dx-int{xcos(2x^2)}, dx)=frac{1}{2}cdotfrac{x^2}{2}- \ -frac{1}{2}cdotfrac{1}{4}int{cos(2x^2)}, d(2x^2)=frac{1}{4}x^2-frac{1}{8}sin(2x^2)+C,$

 

$int{e^xcdot cos^2(e^x)}, dx=int{e^xcdot frac{1+cos(2e^x)}{2}}, dx= \ =frac{1}{2}int{e^x(1+cos(2e^x))}, dx=frac{1}{2}int{(e^x+e^xcos(2e^x))}, dx= \ frac{1}{2}(int{e^x}, dx+int{e^xcos(2e^x)}, dx)=frac{1}{2}e^x+frac{1}{2}cdotfrac{1}{2}int{cos(2e^x)}, d(2e^x)= \ =frac{1}{2}e^x+frac{1}{4}sin(2e^x)+C.$