Question

1.Исходя из формулы бинома Ньютона, получить формулы для кубов суммы и разности двух чисел.

2. Определить степень бинома (3а — 2)п, если известно, что коэффициент при а2 в разложении этого бинома равен 216.

Answer 1

В общем случае бином Ньютона:
$(x+y)^{n}=C_{n}^{0}x^{n}y^{0} + C_{n}^{1}x^{n-1}y^{1}+...+C_{n}^{k}x^{n-k}y^{k}+...+C_{n}^{n}x^{0}y^{n}$, где
$C_{n}^{k}= frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Для куба суммы:
$(x+y)^{3}= frac{3!}{0!3!}x^{3}+frac{3!}{1!2!}x^{2}y+frac{3!}{2!1!}xy^{2}+frac{3!}{3!0!}y^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}$
Для куба разности:
$(x-y)^{3}=(x+(-y))^{3} =x^{3}+3x^{2}(-y)+3x(-y)^{2}+(-y)^{3}$$=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}$

Вторая часть:
$(3a-2)^{n} =(-2)^{n}+n*(-2)^{n-1}*3a+ frac{n(n-1)}{2}*(-2)^{n-2}*3^{2}a^{2}+...$
$216 =frac{n(n-1)}{2}*(-2)^{n-2}*3^{2}=n(n-1)*9*frac{1}{2} *(-2)^{n}*(-2)^{-2}$
$216* frac{8}{9} =n(n-1)(-2)^{n}$
$192=n(n-1)(-2)^{n}$
192=2*3*4*8
Предположим, что n=4, тогда:
$n(n-1)(-2)^{n}=4*3*(-2)^{4} =4*3*16=192$
Ответ: n=4.

Answer 2

Вторая часть.

Answer 3

Спасибо большое)