Question

Решить уравнение:
$frac{x^2+x-5}{x}+ frac{3x}{x^2+x-5}+4=0$
В ответ записать произведение корней
Ответ: 25

Answer 1

$frac{x^2+x-5}{x}+ frac{3x}{x^2+x-5}+4=0$
Замена:
$frac{x^2+x-5}{x}=aRightarrow frac{3x}{x^2+x-5}= frac{3}{a} ; (x neq 0, a neq 0)$
Решаем уравнение:
$a+ frac{3}{a} +4=0 \ a^2+4a+3=0 \ a^2+a+3a+3=0 \ a(a+1)+3(a+1)=0 \ (a+1)(a+3)=0 \ a_1=-1 \ a_2=-3$
Возвращаемся к исходной переменной:
$left [ {{dfrac{x^2+x-5}{x}=-1} atop {dfrac{x^2+x-5}{x}=-3}} right. \ left [ {{x^2+x-5=-x} atop {x^2+x-5=-3x}} right. \ left [ {{x^2+2x-5=0} atop {x^2+4x-5=0}} right.$
Найдем дискриминанты получившихся уравнений:
$left [ {{D_1=1^2-1cdot(-5)=1+5=6 textgreater 0}atop {D_1=2^2-1cdot(-5)=4+5=9 textgreater 0}} right.$
Оба дискриминанта положительные, значит у каждого уравнения есть по два корня, причем ни один из них не равен нулю.
Можно записать сами корни:
$x_{12}= -1pm sqrt{6} ; x_3=-2-3=-5; x_4=-2+3=1$
Так как нужно найти произведение корней, то по теореме Виета (произведение корней приведенного квадратного уравнения есть свободный член) запишем:
$left [ {{x_1x_2=-5} atop {x_3x_4=-5}} right.$
Находим произведение всех корней:
$x_1x_2x_3x_4=(-5)cdot(-5)=25$
Ответ: 25

Answer 2

нормальный? мое решение удалил, а свое, неправильное, написал сюда. что за люди?