Question

Найти сумму семи первых членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем |q| < 1, если ее второй член равен 4, а отношение сумму квадратов членов к сумме членов равно 16/3.

Answer 1

$S_{7}= frac{b_{1}}{1-q}$
$b_{2}=4$
$frac{b^{2}_{1}+b^{2}_{2}+...+b^{2}_{7}}{b_{1}+b_{2}+...+b_{7}}= frac{16}{3}$
$frac{b^{2}_{1}+b^{2}_{2}+...+b^{2}_{7}}{S_{7}}= frac{16}{3}$

$b_{2}=b_{1}q$ => $b_{1}= frac{b_{2}}{q}= frac{4}{q}$
$S_{7}=S= frac{4}{q(1-q)}$

$frac{b^{2}_{1}*(1+q^{2}+q^{4}+...+q^{12})}{ frac{4}{q(1-q)} }= frac{16}{3}$
$frac{ frac{16}{q^{2}} *(1+ frac{q^{2}}{1-q^{2}} )}{ frac{4}{q(1-q)} }= frac{16}{3}$
$frac{16q*(1-q)}{q^{2}}* frac{1-q^{2}+q^{2}}{1-q^{2}}= frac{16*4}{3}$
$frac{16}{q(1+q)}= frac{16*4}{3}$
$frac{1}{q(1+q)}= frac{4}{3}$
$q+q^{2}- frac{3}{4}=0$
$4q^{2}+4q-3=0, D=64$
$q_{1}= frac{-4-8}{8}=- frac{12}{8} textless -1$
$q_{2}= frac{1}{2}$

$S=frac{4}{0.5*(1-0.5)}=frac{4}{0.5*0.5}=16$