Question

В 1, доказать тождество
Во в 2(в) сделать, как разность кубов или субов кубов

Answer 1

$1); (a^{-1}-b^{-1})^2=(frac{1}{a}-frac{1}{b})^2=frac{1}{a^2}-frac{2}{ab}+frac{1}{b^2}=frac{b^2-2ab+a^2}{a^2b^2}=frac{(a-b)^2}{a^2b^2}\\2); (a^{-1}+b^{-1})^2-(a^{-1}-b^{-1})^2=(frac{1}{a}+frac{1}{b})^2-(frac{1}{a}-frac{1}{b})^2=\\=(frac{1}{a}+frac{1}{b}-frac{1}{a}+frac{1}{b})(frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{a}-frac{1}{b})=frac{2}{b}cdot frac{2}{a}=frac{4}{ab}$

$3); (a^{-1}+b^{-1})^3-(a^{-1}-b^{-1})^3=(frac{1}{a}+frac{1}{b})^3-(frac{1}{a}-frac{1}{b})^3=\\=((frac{1}{a}+frac{1}{b})-(frac{1}{a}-frac{1}{b}))((frac{1}{a}+frac{1}{b})^2+(frac{1}{a}+frac{1}{b})(frac{1}{a}-frac{1}{b})+(frac{1}{a}-frac{1}{b})^2)=\\=frac{2}{b}(frac{1}{a^2}+frac{2}{ab}+frac{1}{b^2}+frac{1}{a^2}-frac{1}{b^2}+frac{1}{a^2}-frac{2}{ab}+frac{1}{b^2})=\\=frac{2}{b}(frac{3}{a^2}+frac{1}{b^2})=frac{2(3b^2+a^2)}{a^2b^3}$