Question

Вокруг правильного треугольника описана окружность.В этот же треугольник вписана окружность. Найдите отношение радиусов этих окружностей.

Answer 1

Центры описанной около равностороннего треугольника окружности и вписанной в равносторонний треугольник окружности совпадают с точкой пересечения медиан, высот, биссектрис. Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Поэтому радиусы так и будут относиться   2:1.

======================================

Можно найти отношение через формулы. Пусть сторона треугольника равна а.  Тогда

$R = dfrac a{sqrt3}$ - радиус описанной окружности

$r = dfrac a{2sqrt3}$ - радиус вписанной окружности

$dfrac Rr=dfrac a{sqrt3}:dfrac a{2sqrt3}=dfrac a{sqrt3}cdot dfrac {2sqrt3}a=2$

Радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

Ответ:  R : r = 2 : 1