Question

Помогите пожалуйста! Дайте ответ с решением! Математика 11 класс. Спасибо.

Answer 1

$frac{2^x}{2^x-3}+ frac{2^x+1}{2^x-2}+ frac{5}{4^x-5cdot2^x+6} leq 0$

Сделаем замену переменной:
$2^x=t$, тогда $t textgreater 0$

Решаем неравенство:

$frac{t}{t-3}+ frac{t+1}{t-2}+ frac{5}{t^2-5t+6} leq 0$

Последний знаменатель разложим по теореме Виета:

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$

$t^2-5t+6=0\ D=25-24=1\\ t_{1/2} frac{5pm1}{2}\\ t_1=3; t_2=2$

Тогда $t^2-5t+6=(t-3)(t-2)$\\

$frac{t}{t-3}+ frac{t+1}{t-2}+ frac{5}{(t-3)(t-2)} leq 0\\ frac{t^2-2t+t^2-3t+t-3+5}{(t-3)(t-2)} leq 0\\ frac{2t^2-4t+2}{(t-3)(t-2)} leq 0\\ frac{2(t^2-2t+1)}{(t-3)(t-2)} leq 0 | (cdot frac{1}{2})\\ frac{t^2-2t+1}{(t-3)(t-2)} leq 0\\ frac{(t-1)^2}{(t-3)(t-2)} leq 0$

Решим неравенство методом интервалов:

$(t-1)^2=0\ t_1=1\\ t-3=0\ t_2=3\\ t-2=0\ t_3=2$

0__+__1__+__2__-__3__+__

Нас интересует интервал $(2;3)$

Итак, $2 textless t textless 3$

Переходим обратно к $x$

$2 textless 2^x textless 3\ log_2{2} textless log_2{2^x} textless log_2{3}$

Ответ: $xin (1;log_2{3})$