Question

Я быстро начинал вращать эту ленту вокруг себя и тотчас же взмывал вверх.
проведите синтаксический разбор.

Answer 1

Я — подлежащее
Начинал вращать — сказуемое
Быстро — обстоятельство
Эту — определение
Ленту — дополнение
Вокруг себя — обстоятельство
Тотчас же — обстоятельство
Взмывал — сказуемое
Вверх - обстоятельство

Answer 2

Я – подлежащее, выражено сущ. Начинал вращать – составное глагольное сказуемое. Взмывал – второе сказуемое. Предложение содержит однородные сказуемые.
Начинал (как?) – быстро. Это обстоятельство.
Вращать (кого, что?) – ленту. Дополнение. 
Ленту (какую?) – эту. Определение. 
Вращать (как?) – вокруг. Обстоятельство.
Вокруг (кого, чего?) – себя. Дополнение.
Взмывал (когда?) тотчас – обстоятельство времени. 
Взмывал (куда?) вверх  – обстоятельство.

Предложение повествовательное, невосклицательное, простое, распространенное, содержит однородные сказумые. 
Грамматическая основа: [– –– u ––]

***
–– - Двойная черта 
Однородные сказуемые отмечаются двумя палочками в круге. Как в предложении сверху слова, так и в схеме.

Удачной учебы!!!