Question

Решите уравнение . Укажите корни, принадлежащие отрезку . 6cos ^2x−7cosx−5=0 [−π; 2π]

Answer 1

$6cos^2x-7cosx-5=0$
делаем замену:
$a=cosx, a in [-1;1]$
получим:
$6a^2-7a-5=0$
решим это уравнение:
$D=49+20*6=169=13^2 \a_1= frac{7+13}{12} = frac{20}{12} notin [-1;1] \a_2= frac{7-13}{12} =- frac{6}{12} =- frac{1}{2} in [-1;1]$
обратная замена:
$cosx=- frac{1}{2} \x_{1,2}=pm arccos(- frac{1}{2})+2pi n \x_{1,2}=pm frac{2pi}{3}+2pi n, n in Z$
проводим отбор корней на промежутке $[-pi;2pi]$
Для этого решим следующие неравенства, при условии что n целое число:
$-pileq frac{2pi}{3}+2pi nleq 2pi \-1leq frac{2}{3}+2nleq 2 \-1- frac{2}{3} leq 2nleq 2- frac{2}{3} \- frac{5}{3} leq 2n leq frac{4}{3} \- frac{5}{6} leq n leq frac{2}{3} \n=0; x_1= frac{2pi}{3} +2pi *0= frac{2pi}{3} \-pileq -frac{2pi}{3}+2pi nleq 2pi \-1leq - frac{2}{3}+2nleq 2 \ frac{2}{3} -1 leq 2nleq 2+ frac{2}{3} \- frac{1}{3} leq 2n leq frac{8}{3} \- frac{1}{6} leq n leq frac{4}{3}$
$n=0; x_2= -frac{2pi}{3} +2pi *0=-frac{2pi}{3} \n=1; x_3= -frac{2pi}{3} +2pi= frac{6pi-2pi}{3}= frac{4pi}{3}$
Ответ: корни уравнения: $x_{1,2}=pm frac{2pi}{3}+2pi n, n in Z$; корни на отрезке: $pm frac{2pi}{3} ; frac{4pi}{3}$