Question

2cos2x+8sinx=5
1) Решить уравнение
2) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  $left[begin{array}{ccc}&&\ frac{5 pi }{2} &;&5 pi \&&end{array}right]$
Буду благодарен за помощь.

Answer 1

$2cos2x+8sinx=5 \ 2(cos^2x-sin^2x)+8sinx-5=0 \ 2(1-sin^2x-sin^2x)+8sinx-5=0 \ 2(1-2sin^2x)+8sinx-5=0 \ 2-4sin^2x+8sinx-5=0 \ -4sin^2x+8sinx-3= \ 4sin^2x-8sinx+3=0$

y=sinx

4y²-8y+3=0
D=64-48=16
y₁=(8-4)/8=4/8=1/2
y₂=(8+4)/8=12/8=1.5

1) При у=1/2
$sinx= frac{1}{2} \ x=(-1)^n* frac{ pi }{6}+ pi n,$ n∈Z;

2) При у=1,5
sinx=1.5
Так как 1,5∉ [-1; 1], то уравнение не имеет решений.


На промежутке [5π/2; 5π]=[15π/6; 30π/6]:
a)  n=2
$x=(-1)^2* frac{ pi }{6}+2 pi = frac{ pi }{6}+2 pi = frac{13 pi }{6}$
нет

б) n=3
$x=(-1)^3* frac{ pi }{6}+3 pi =- frac{ pi }{6}+3 pi = frac{17 pi }{6}$
да

в) n=4
$x=(-1)^4* frac{ pi }{6}+4 pi = frac{ pi }{6}+4 pi = frac{25 pi }{6}$
да

г) n=5
$x=(-1)^5* frac{ pi }{6}+5 pi =- frac{ pi }{6}+5 pi = frac{29 pi }{6}$
да

д) n=6
$x=(-1)^6* frac{ pi }{6}+6 pi = frac{ pi }{6}+6 pi = frac{37 pi }{6}$
нет

Ответ: $frac{17 pi }{6}; frac{25 pi }{6}; frac{29 pi }{6}.$

Answer 2

Применена формула двойного угла косинуса