Question

При яких значеннях а графіки функцій у=4х(в квадраті)+9 і у=ах мають дві спільні точки?

Answer 1

Предельное положение параболы у = 4х² + 9 и прямой ах, проходящей через начало координат, - это их общая точка касания, определяемая величиной коэффициента а₀.
При а < а₀ графики не пересекаются.
При а > a₀ графики пересекаются и имеют 2 общие точки.
Так как парабола симметрична относительно оси у, то имеется такая же прямая с коэффициентом -а.

Коэффициент а касательной равен производной функции в точке касания.
f ' = 8x = a.
Условие касания: 4х² + 9 = ах.
Подставим значение а = 8х:
4х² + 9 = (8х)*х.
8х² - 4х² - 9 = 0.
4х² = 9.
х = +-√(9/4) = +- (3/2).

Отсюда ответ:
а₀ = (+- (3/2))*8.
а₁ > 12,
а₂ < -12.