Question

можно ли написать раздельно "не терпеливо торопя время, "

Answer 1

"Нетерпеливо" пишется только слитно, а когда это слово в предложении можно заменить синонимом.
Раздельно, когда идет противопоставление с союзом "а"

Answer 2

нетерпеливо. вместе!,