Question

1. a) Вычислите площадь фигуры , ограниченной линиями ( сделав рисунок ).
y = 2x²; y=8.
б) Найти - задание во вложении 1.
в) Решить неравенство - задание во вложении 2.

Answer 1

$intlimits^1_{-1} { frac{(9-x^2)(x^2-16)}{x^2-7x+12} } , dx$

Во первых, максимально упростим подинтегральное выражение:
$intlimits^1_{-1} { frac{(3+x)(3-x)(x+4)(x-4)}{(x-3)(x-4)} } , dx= intlimits^1_{-1} { frac{(3+x)(3-x)(x+4)}{(x-3)} } , dx$
$intlimits^1_{-1} { frac{(3+x)(3-x)(x+4)}{-(3-x)} } , dx=intlimits^1_{-1} {-(3+x)(x+4) , dx=intlimits^1_{-1} {-x^2-7x-12} , dx$
Если вам не понятно, поясню. В числителе было произведение разностей квадратов, а значит, можно привести данные выражения к более простым (как  мы и сделали), а в знаменателе, я разложил многочлен на множители с помощью метода разложения квадратного трехчлена.
Нам осталось решить определенный интеграл через формулу Ньютона-Лейбница:
$intlimits^1_{-1} {-x^2-7x-12} , dx=- frac{1}{3}x^3- frac{7}{2}x^2-12xBig|_{-1}^1- frac{x^3}{3}- frac{7x^2}{2}-12xBig|_{-1}^1=( -frac{1}{3}-frac{7}{2}-12)-( frac{1}{3}-frac{7}{2}+12)=-frac{2}{3}-24$

То есть:
$intlimits^1_{-1} {-x^2-7x-12} , dx=-24 frac{2}{3}$

2)
Вначале решим определенный интеграл, а потом неравенство:
$intlimits^a_2 {2x} , dx=x^2big|_2^a=a^2-4$

Теперь неравенство:
$a^2-4 textgreater 5$
$a^2 textgreater 9$ - перенесли 4 в право.

Переносим 9 в лево:
$a^2-9 textgreater 0$
Так как это разность квадратов, получаем:
$(a+3)(a-3) textgreater 0$
Есть 2 корня, при котором левое выражение обращается в нуль:
$a_{1,2}=pm3$
Отметим данные точки на числовой прямой, и получим 3 интервала:
$(-infty,-3)(-3,3)(3,+infty)$
Теперь проверим знаки на каждом из интервалов (нам подойдет интервал со знаком +, так как наше неравенство строго больше нуля).
$(-infty,-3)=+$
$(-3,3)=-$
$(3,+infty)=+$

Отсюда ответ:
$xin(-infty,-3)cup(3,+infty)$

3)
Во первых границы фигуры:
$2x^2=8$
$x^2=4$
$x_{1,2}=pm2$

График $y=2x^2$ начинается из начала координат, график y=8 с точки (0;8).
Понятное дело, что график y=8 выше $y=2x^2$  на данном отрезке $xin[-2,2]$

Составим определенный интеграл:
$intlimits^2_{-2} {8-2x^2} , dx$ - заметьте, мы отняли из высшего графика, низший.
По теореме Ньютона-Лейбница, находим:
$intlimits^2_{-2} {8-2x^2} , dx =8x-frac{2x^3}{3}big|_{-2}^2=(16- frac{16}{3})-(-16+ frac{16}{3})=32- frac{32}{3}= frac{64}{3}$
$intlimits^2_{-2} {8-2x^2} , dx =frac{64}{3}=21 frac{1}{3}$