Question

Найти интеграл $intlimits { frac{dx}{x^3-8} } , =$

Answer 1

Знаменатель разложим на множители
x³-8=(x-2)(x²+2x+4)
Подинтегральную функцию на простейшие дроби
$frac{1}{x^3-8} = frac{A}{x-2} + frac{Mx+N}{x^2+2x+4} \ \ 1=A(x^2+2x+4)+(Mx+N)(x-2)$
применяя метод частных значений
при х=2 получим
1=A·12⇒   A=1/12
приравнивая многочлены
1=(A+M)x²+(2A+N-2M)+(4A-2N)
получим систему трех уравнений с тремя неизвестными:
A+M=0    ⇒  M=-A=-1/12
2A+N-2M=0  ⇒ 2A+N+2A=0  ⇒  N=-4A=-4/12=-1/3
4A-2N=1  это уравнение можно использовать для проверки
4·(1/12)-2·(-13)=1      1/3+2/3=1  - верно

$int frac{1}{x^3-8}dx= int frac{ frac{1}{12} }{x-2}dx+int frac{- frac{1}{12}x- frac{1}{3} }{x^2+2x+4}dx= \ \ =frac{1}{12}int frac{dx}{x-2} - frac{1}{12}int frac{x+4}{x^2+2x+4}dx$

1)$int frac{dx}{x-2} =ln|x-2|+C_1$

2)  $int frac{x+4}{x^2+2x+4}dx=int frac{x+4}{x^2+2x+1+3}dx=int frac{x+4}{(x+1)^2+3}dx=$
замена переменной
х+1=t
x=t-1
dx=dt
$=int frac{t-1+4}{t^2+3}dt=int frac{t}{t^2+3}dt+int frac{3}{t^2+3}dt= \ \ = frac{1}{2} int frac{2t}{t^2+3}dt+3int frac{1}{t^2+( sqrt{3})^2 }dt= \ \ = frac{1}{2} ln|t^2+3|+3cdot frac{1}{ sqrt{3} }arctg frac{t}{ sqrt{3} } +C_2$
Ответ.
$frac{1}{12} ln|x-2|- frac{1}{12}( frac{1}{2} ln|x^2+2x+4|+3cdot frac{1}{ sqrt{3} }arctg frac{x+1}{ sqrt{3} })+C= \ \ =frac{1}{12} ln|x-2|- frac{1}{24} ln|x^2+2x+4|-frac{ sqrt{3} }{ 12 }arctg frac{x+1}{ sqrt{3} }+C$

Answer 2

а вот тут 2) х+4 откуда в числителе взялось?

Answer 3

всё поняла ?вы вынесли -1/12

Answer 4

спасибо)