Question

Решите уравнение
$displaystyle frac{x^2}{4} + frac{9}{x^2}=3left( frac{x}{2}- frac{3}{x} right ) +1 frac{3}{4}$

Answer 1

$displaystyle frac{x^2}{4} + frac{9}{x^2}=3left( frac{x}{2}- frac{3}{x} right ) +1 frac{3}{4} | cdot 4x^2, x ne 0\\ f(1) = 1 - 6 - 7 + 36 + 36 ne 0, f(-1) = 1 + 6 -7 - 36 + 36 = 0\\ x^4 + 36 = 6x^3 - 36x + 7x^2, x^4 - 6x^3 - 7x^2 + 36x + 36 = 0\\ x^4 + x^3 - 7x^3 - 7x^2 + 36x + 36 = \\ = x^3(x + 1) - 7x^2(x + 1) + 36(x + 1) = \\ =(x^3 - 7x^2 + 36)(x + 1) = 0, x + 1 = 0, boxed{x_1 = -1}$

$displaystyle x^3 -7x^2 +36 = 0, 36 = 6 cdot 6 = 3 cdot 2 cdot 3 cdot 2 = 3^2 cdot 2^2\\ f(2) = 8 - 28 + 36 ne 0, f(-2) = -8 - 28 + 36 = 0\\ x^3 + 2x^2 - 9x^2 -18x + 18x + 36 = \\ = x^2(x + 2) - 9x(x + 2) + 18(x + 2) = \\ = (x^2 - 9x + 18)(x + 2) = 0, x + 2 = 0, boxed{x_2 = -2}\\ x^2 - 9x + 18 = 0\\ x_3 + x_4 = 3 + 6, x_3 cdot x_4 = 18 = 3 cdot 6\\ boxed{x_3 = 3, x_4 = 6}$

Первые корни уравнения найдены перебором (начиная с наименьших по абсолютной величине целых), оставшиеся два по формулам Виета.

$displaystyle frac{x^2}{4} + frac{9}{x^2}=3left( frac{x}{2}- frac{3}{x} right ) +1 frac{3}{4}, frac{7}{4} = frac{12 - 5}{4}\\ left(frac{x^2}{4} - frac{12}{4} + frac{9}{x^2}right) - 3left( frac{x}{2}- frac{3}{x} right) + frac{5}{4} = 0\\ left( frac{x}{2}- frac{3}{x} right)^2 - 3left( frac{x}{2}- frac{3}{x} right) +frac{5}{4} = 0, t = frac{x}{2}- frac{3}{x} ; [ x ne 0 ]$

$displaystyle t^2 - 3t + frac{5}{4} = 0 \\ text{D} = 9 - 5 = 4 \\ t_1 = frac{3 - 2}{2} = 0.5, t_2 = frac{3 + 2}{2} = 2.5\\ 1) frac{x}{2}- frac{3}{x} = frac{1}{2} | cdot 2x\\ x^2 - 6 = x, x^2 - x - 6 = 0\\ x_1 + x_2 = 1 = 3 - 2, x_1x_2 = -6 = (-2)cdot 3\\ boxed{x_1 = -2, x_2 = 3}$

$displaystyle 2) frac{x}{2}- frac{3}{x} = frac{5}{2} | cdot 2x\\ x^2 - 6 = 5x, x^2 - 5x - 6 = 0\\ x_1 + x_2 = 5 = 6 - 1, x_1x_2 = -6 = (-1)cdot 6\\ boxed{x_3 = -1, x_4 = 6}$

Answer 2

т.е.е не прохордил

Answer 3

Есть даже формулы Виета для корней кубического уравнения.

Answer 4

Но их муторно применять, да и проще убрать один корень и решить квадратное.

Answer 5

Про LaTeX. Вы в спец. проге верстаете, а потом вставляете сюда, или прям здесь набираете формулы?

Answer 6

Здесь.