Question

Упростите:
$(A_k^5+A_k^4):A_k^3\A_k^5=frac{k!}{(k-5)!}=frac{(k-5)!(k-4)(k-3)(k-2)(k-1)k}{(k-5)!}=\=(k-4)(k-3)(k-2)(k-1)k;\A_k^4=frac{(k-4)!)(k-3)(k-2)(k-1)k}{(k-4)!}=)(k-3)(k-2)(k-1)k;\A_k^3=frac{(k-3)!(k-2)(k-1)k}{(k-3)!}=(k-2)(k-1)k;\\ frac{((k-4)(k-3)(k-2)(k-1)k+(k-3)(k-2)(k-1)k)}{(k-2)(k-1)k}$
Можно выносить за скобки общий множитель?
$frac{((k-4)(k-3)(k-2)(k-1)k+(k-3)(k-2)(k-1)k)}{(k-2)(k-1)k}\ frac{(k-3)(k-2)(k-1)k(k-4+1)}{(k-2)(k-1)k}=(k-3)(k-3)=(k-3)^2$

Так решается или есть варианты решения полегче? Запись такая длинная.
Модераторы, пожалуйста, не удаляйте, хотя бы на время, пока не получу ответа (если решение не верное) или подтверждения правильности в комментарии или в ЛС.

Answer 1

Есть формулы , по которым сразу можно найти $A_{n}^{k}$, не применяя факториал:

   $A_{n}^{k}=ncdot (n-1)(n-2)cdot ...cdot (n-k+1); ; ; ; Rightarrow \\A_{k}^5=kcdot (k-1)cdot (k-2)cdot ...cdot (k-5+1)=\\=kcdot (k-1)cdot (k-2)cdot (k-3)cdot (k-4)\\A_{k}^4=kcdot (k-1)cdot ...cdot (k-4+1)=kcdot (k-1)cdot (k-2)(k-3)\\A_{k}^3=kcdot ...cdot (k-3+1)=kcdot (k-1)(k-2)$

Можно заметить, что количество множителей в произведении будет равно числу, написанному вверху, над А. И поэтому, чтоб не высчитывать, на каком множителе остановиться, можно писать множители, начиная с числа, указанного внизу, уменьшая каждый множитель на 1, и считая их по количеству, указанному вверху.
Аналогично с сочетаниями:

$C_{n}^{k}= frac{ncdot (n-1)cdot ...cdot (n-k+1)}{k!}$

Например,  $C_7^3= frac{7cdot 6cdot 5}{3!} = frac{7cdot 6cdot 5}{1cdot 2cdot 3} =7cdot 5=35$ . 

Answer 2

Отличная формула, упрощает вычисление. Спасибо!