Question

Апофема правильной четырехуголоной пирамиды равна а, плоский угол при вершине равна "альфа". Найти V пирамиды

Answer 1

Апофема - высота боковой грани, т.к. пирамида правильная, то боковые грани - равнобедренные треугольники, а в основании лежит квадрат. Если высота (ещё медиана и биссектриса, к тому же) равнобедренного треугольника равна а, угол при вершине альфа (Х), то основание треугольника равно b=2a*tg(X/2). Пусть высота пирамиды h, тогда выполняется теорема Пифагора для полуоснования, апофемы и высоты:

$(b/2)^2+h^2=a^2;\ h=sqrt{a^2-(b/2)^2}=asqrt{1-tg^2(alpha/2)}\ V=Sh/3=b^2h/3=4a^2tg^2(alpha/2)*asqrt{1-tg^2(alpha/2)}/3=\ =4a^3/3*tg^2(alpha/2)sqrt{1-tg^2(alpha/2)}$