Question

Факториал. Объясните, пожалуйста!
n! - n факториал можно записать как n (n-1) (n-2) (n-3) (n-4) (n-5)! допустим если надо было разделить на (n-5)! ?
И также n! можно записать как (n+1) (n+2) (n+3) (n+4) (n+5)! ?
Также можно записать как (n-1)! (n-2) (n-3) n (n+1) (n+2) (n+3) ? Разве можно расписать до бесконечности такие скобки n+N, где N - натуральные числа ?

В учебника даётся уравнение с решением, преобразование которого мне не понятно:

$5*C_n^3=C_{n+2}^4\5*frac{n!}{3!(n-3)!}=frac{(n+2)!}{4!(n+2-4)!}$
Понятно, по формуле $C_n^m=frac{n!}{m!(n-m)!}$ расписали. Идём дальше:
$5*frac{(n-3)!(n-2)(n-1)n}{3!(n-3)!}=frac{(n-2)!(n-1)n(n+1)(n+2)}{4!(n-2)!}$
Сто стало с выражениями в числителе? n! и (n+2)! расписали так, как в самом начали написал? Эти "знания" как-то надо упорядочить, а то я своими догадками не уверен.
Дальше:
$5*(n-2)=frac{1}{4}(n^2+3n+2)$
...хорошо, полагаю 3! и 4! записали как (1*2*3) и (1*2*3*4) и сократили на (1*2*3). К общему знаменателю разве не приводят?
Ладно, в предыдущей строке расписали скобки и сократив скобки получили бы:
$5*frac{(n-3)!(n-2)(n-1)n}{3!(n-3)!}=frac{(n-2)!(n-1)n(n+1)(n+2)}{4!(n-2)!}=\=5*frac{(n-2)(n-1)n}{3!}=frac{(n-1)n(n+1)(n+2)}{3!*4}$
Можно ли сократить на n(n-1)? Ведь именно это и сделано.

Answer 1

$n!=1cdot 2cdot 3cdot ...cdot (n-5) (n-4)(n-3)(n-2)(n-1)cdot n=\\=(n-5)!cdot (n-4)(n-3)(n-2)(n-1)cdot n\\\n!ne (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)!$

потому, что перед факториалом указывается последний множитель (натуральное число). А (n+1) - уже больше  n  и  в  n! не входит .
Далее в формуле расписали  n!  и (n+2)! через факториалы, которые стоят в знаменателях, чтобы потом произвести сокращение.

$n!=underbrace {1cdot 2cdot ...cdot (n-3)}(n-2)(n-1)cdot n=(n-3)!cdot (n-2)(n-1)n\\(n+2)!=underbrace {1cdot 2cdot ...cdot (n-2)}(n-1)n(n+1)(n+2)=\\=(n-2)!(n-1)n(n+1)(n+2)$

Ну, и конечно, в конце сократили на $n(n-1)ne 0$ .

Answer 2

т.е. от факториала n! можно пойти только на убывание, но не на возрастание

Answer 3

Да. Просто надо понимать, что факториал - это произведение, которое обозначили таким образом (чтобы не писать длинные выражения). А последни множителем в этом произведении является то число, которое стоит перед факториалом ( ! ), а ве остальные множители отличаются друг от друга на 1 и явл. натуральными числами (употреюляемыми при счёте).

Answer 4

столько часов просидел за учебником и писком в интернете ответов на конкретные свои вопросы, и только вы помогли, прям груз с плеч! везде сразу формулы даются и решения задач

Answer 5

всё, вопросов на эту тему пока нет)

Answer 6

Это хорошо.