Question

Построить график функции с помощью производной y=x^4-5x^2+4

Answer 1

Поначалу, узнаем область определения функции:

Так эта функция имеет смыл при всех значениях икс, то получаем:
$D(f)=(-infty,+infty)$
Проверим на четность:
$f(x)=f(-x)$ - то функция четна.
$f(x)=-f(x)$- то функция нечетна.
Если ни один из этих определений не работают в нашей функции. То наша функция будет не чётна, не нечётна.
Проверим:
$x^4-5x^2+4= (-x)^4-5(-x)^2+4$
Так как, степень четная, то получим:
$x^4-5x^2+4=x^4-5x^2+4$ 
Значит наша функция чётна, то есть, симметрична относительно оси игрек.
Найдем теперь производную:
$f'(x)=4x^3-10x$
Теперь найдем критические точки, при которых производная обращается в нуль:
$4x^3-10x=0$
$x(4x^2-10)=0$
$x_1=0$
$4x^2-10=0$
$D= sqrt{b^2-4ac}= sqrt{160} = 2 sqrt{40}=4 sqrt{10}$
$x_2= frac{4 sqrt{10}}{8}= frac{ sqrt{10}}{2}$
$x_3=-frac{ sqrt{10}}{2}$

Отметим данные точки, на числовой прямой, и определим знак производной на интервалах:
$(-infty,-frac{ sqrt{10}}{2})(-frac{ sqrt{10}}{2},0)(0,frac{ sqrt{10}}{2})(frac{ sqrt{10}}{2},+infty)$
$(-infty,-frac{ sqrt{10}}{2})= -$
$(-frac{ sqrt{10}}{2},0)=+$
$(0,frac{ sqrt{10}}{2})=-$
$(frac{ sqrt{10}}{2},+infty)=+$

То есть наглядно, это выглядит так:
     
       -            +                -             +
--------$-frac{ sqrt{10}}{2}$---------$0$---------$frac{ sqrt{10}}{2}$---------->

Таким образом, $x=-frac{ sqrt{10}}{2}$  точка минимума, x=0 точка максимума, $x=frac{ sqrt{10}}{2}$ точка минимума.

$y(-frac{ sqrt{10}}{2})=-2,25$
$y(0)=4$
$y(frac{ sqrt{10}}{2})=2,25$
Теперь строим график, на основе проделанного исследования (во вложении)