Question

$intlimits^4_0 { sqrt{4-( x-2)^{2} } } , dx$ вычислить алгебра

Answer 1

Замена переменной
х-2=t
d(x-2)=dt
dx=dt

Пределы интегрирования
при х=0     t=-2
при х=4      t=2

$int^2_{-2} sqrt{4-t^2}dt$

Из геометрического смысла определенного интеграла- то площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой у=√(4-t²) на отрезке [-2;2]
 
Площадь половины окружности с центром в точке (0;0) и радиусом 2

$S= frac{pi R^2}{2}= frac{ pi cdot 2^2}{2} =2 pi$

Этот интеграл можно считать методом интегрирования по частям или методом замены переменной ( тригонометрические подстановки)

z=2sint
dz=2cost dt
пределы
при t=-2      -2=2sint    решаем это уравнение и получаем t=-(pi/2)
при t=2        2=2sint    t=(pi/2)

$intlimits^{ frac{ pi }{2}} _{- frac{ pi }{2}} { sqrt{4-4sin^2z} }cdot 2cosz , dz = intlimits^{ frac{ pi }{2}} _{- frac{ pi }{2}} ( 2cosz )cdot 2cosz , dz=$

$=4 intlimits^{ frac{ pi }{2}} _{- frac{ pi }{2}} { cos^2z , dz=4 intlimits^{ frac{ pi }{2}} _{- frac{ pi }{2}} { frac{1+cos2z}{2} , dz=$

$2 intlimits^{ frac{ pi }{2}} _{- frac{ pi }{2}} (1+cos2z) , dz=2(z+ frac{sin2z}{2})|^{ frac{ pi }{2}} _{- frac{ pi }{2}} = 2pi$