Question

Докажите,что 57^3-27^3 делится на 30

Answer 1

57^3-27^3=30^3/30=30^2=900

Answer 2

$57^3 - 27^3 = (19*3)^3 - (9*3)^3 = 19^3*3^3 - 9^3*3^3$

 

Утверждение: c = a - b, если a и b делятся на n, то и c делится на n.

 

В нашем случае $a = 19^3*3^3, b = 9^3*3^3$, n = 3  => что $c = 57^3 - 27^3$ делится на 3, что и следовало доказать.

 

Другой способ:

 

$<var>c = 57^3 - 27^3</var> = <var>19^3*3^3 - 9^3*3^3</var> = 3 * (19^3 * 3^2 - 9^3 * 3^2)$

 

Из этого представления c, так же следует, что c кратно 3 (делится на 3)

 

Сейчас, я допишу про делимость на 10.

 

$<var>c = 57^3 - 27^3</var> = <var>19^3*3^3 - 9^3*3^3</var> = 3 * (19^3 * 3^2 - 9^3 * 3^2)$

 

Покажем, что $19^3 * 3^2 - 9^3 * 3^2$ кратно 10.

 

Для этого необходимо, что бы $19^3 * 3^2 > 9^3 * 3^2$ и, что бы разность оканчивалась на 0.

 

Проверим, на какое число оканчивается $19^3 * 3^2$ и $9^3 * 3^2$

 

19*19*19 *9 = ......1, 9 * 9* 9 * 9 = ......1

 

Отсюда следует, что $19^3 * 3^2 > 9^3 * 3^2$ делится на 10. А так как с $<var>c =</var>3 * (19^3 * 3^2 - 9^3 * 3^2)$, то и на 30.