Question

Катя раскладывает конфеты по кучкам: в первую она положила две конфеты, во вторую – три конфеты и так далее, т. е. в каждую следующую кучку она клала на одну конфету больше, чем в предыдущую. При этом в последнюю кучку она положила ровно 1/32 часть всех своих конфет, а остальные конфеты положила в коробку. Сколько было у Кати кучек и сколько конфет, если общее количество кучек и конфет было равно 2012

Answer 1

Пусть х - количество конфет.
Пусть n - количества кучек.
1) х • 1/32 = х/32 - количество конфет в последней кучке.
2) 2 + 3 + 4 + ... + х/32 - геометрическая прогрессия, где 2 - первый член, х/32 - последний член, всего членов n, что соответствует количеству кучек.
3) Сумма n членов (у нас кучек) геометрической прогрессии:
Sn = (а1 + аn)•n/2, где а1 и аn - первый и последний члены арифметической прогрессии.
а1=2, аn=х/32
Sn = (2+х/32)•n/2 - количество конфет в кучках.
4) Sn = [2a1 + d(n-1)]•n/2 - также сумма арифметической прогрессии, где d=1 - разность геометрической прогрессии, поскольку в каждую следующую кучку Катя клала на 1 конфету больше.
Sn = [2•2 + (n-1)]•n/2 = (4+n-1)•n/2 = (3+n)•n/2
5) (2 + x/32)•n/2 = (3+n)•n/2
2 + x/32 = 3 + n
32•2 + 32•x/32 = 32•3 + 32•n
64 + x = 96 + 32n
x = 96 - 64 + 32n
x = 32 + 32n
6) х+ n = 2012
(32 + 32n) + n = 2012
33n = 2012 - 32
33n = 1980
n = 1980:33
n = 60 кучек конфет получилось у Кати.
7) х = 32+32n
х = 32 + 32• 60 = 32 + 1920 = 1952 конфет всего было у Кати.
Ответ: 1952 конфеты, 60 кучек.