Question

СРОЧНО НУЖНА ПОМОЩЬ!!! Математика. 5 класс. Принцип Дирихле. Необходимо решить задачи:
1 задача. Условие: В вершинах квадрата записаны числа 3,1,2,5. Разрешается прибавлять к любым двум числам, стоящим в квадрате, одно и тоже целое число. Можно ли через несколько ходов получить во всех вершинах одинаковые числа?
P.S. Если можно, поясните эти ходы(количество и как ходить)
2 задача: Имеется два ведра - одно ёмкостью 4 литра, другое 9 литров. Можно ли набрать из реки ровно 6 литров воды?
P.S. Если можно, объясните как.
3 задача: Внутри правильного шестиугольника со стороной 1 см расположено 7 точек. Докажите, что расстояние между некоторыми двумя точками меньше, чем 1 см
За ответ дам 20 баллов.

Answer 1

1.Тут все дело в четности суммы всех чисел.
Когда мы прибавляем или вычитаем к двум вершинам одинаковые числа n,
то ко всей сумме мы прибавляем или вычитаем четное число 2n.
При этом четность суммы не меняется. 
Сейчас сумма 2+0+0+3+1+9+5+7 = 27, то есть нечетному числу.
Если мы получим все 0, то сумма станет равна 0, то есть четному числу.
А это невозможно, потому что при каждом ходе четность не меняется.
2.Как набрать из реки ровно 6 литров воды, если имеется 2 ведра: одно ёмкостью 4 литра, а другое 9 литров.

наливаем воду в 9 лит ведро

переливаем в 4 лит остается 5 литров, переливаем в 4 литр ведро остается 1 литр переливаем 1 литр в 4 лит ведро наливаем 9 литровое и опять перелив в 4 литровое 3 литра выльется а в 9 литровом ведре останется 6 литров

3.Правильный шестиугольник можно разбить на 6 правильных треугольников со стороной 1.Тогда хотя бы в одном из этих треугольников будет лежать две отмеченные точки. Расстаяния между ними не будет превосходить стороны треугольника,т.е. не больше одного.