Question

Решить уравнение Z^3+8i=0

Answer 1

z³ + 8i = 0;       i² = -1;      i³ = -i   ⇒    (2i)³ = -8i

$z^3 + 8i = 0~~~Leftrightarrow~~~x^3-(2i)^3=0\(z-2i)(z^2+2iz+(2i)^2)=0\(z-2i)(z^2+2iz-4)=0\\1)~z-2i=0;~~~boxed{boldsymbol{z_1=2i}}\\2)~z^2+2iz-4=0\\~~~dfrac D4= i^2+4=-1+4=3\\~~~~boxed{boldsymbol{z_2=-i+sqrt3;~~~~z_3=-i-sqrt3}}$

======================

Использована формула разности кубов

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

Answer 2

Можно разложить на множители по формуле разности кубов. Я предоставлю другой способ, которое чаще всего применяют

$z=sqrt[3]{-8i}$

$a=-8i=0-8i$

Модуль комплексного числа: $|a|=sqrt{0^2+(-8)^2}=8$

$a=0-8i=8(0-i)=8cdot left(cos (-frac{pi}{2})+isin(-frac{pi}{2})right)$

Тогда

$z=sqrt[3]{-8i}=sqrt[3]{8}left(cosfrac{-frac{pi}{2}+2pi k}{3}+isinfrac{-frac{pi}{2}+2pi k}{3}right),~~~~k=0,1,2$

$z_1=sqrt[3]{8}left(cosfrac{-frac{pi}{2}}{3}+isinfrac{-frac{pi}{2}}{3}right)=2left(frac{sqrt{3}}{2}-frac{1}{2}iright)=sqrt{3}-i\ \ z_2=sqrt[3]{8}left(cosfrac{-frac{pi}{2}+2pi}{3}+isinfrac{-frac{pi}{2}+2pi}{3}right)=2left(-frac{sqrt{3}}{2}-frac{1}{2}iright)=-sqrt{3}-i$

$z_3=sqrt[3]{8}left(cosfrac{-frac{pi}{2}+4pi}{3}+isinfrac{-frac{pi}{2}+4pi}{3}right)=2left(0+iright)=2i$