Question

В треугольнике ABC проведены биссектриса bm, и высота bn, при чем m принадлежит ac и n принадлежит ac, длины отрезков am=8, MN=1, NC=3. Найдите квадрат высоты bn

Answer 1

Сделаем риснок. 
Биссектриса делит сторону, противолежащую углу, который делит, в отношении прилежащих к этому углу сторон. 

Пусть коэффициент этого отношения будет х.
тогда АВ=8х,
ВС=НСх+МNх=4х
Выразим квадрат высоты ВN из прямоугольных треугольников, на которые она делит ∆ АВС. 
Из Δ АВN
BN²=АВ²-AN²
Из ∆ BNC
BN²=BC²-NC² ; приравняем эти значения, т.к. они выражают одну и ту же величину. 
AB²-AN²=BC²-NC²
АN=AM+MN=9
64х²-81=16х²-9
48х²=72
х²=1,5
Из ∆ ВNC
BN²=16*1,5-9=15
Ответ:BN²=15