Question

найти частные производные до 3 порядка включительно от $z= sqrt{2xy+y^2}$

Answer 1

$z'_{x}=frac{1}{2sqrt{2xy+y^2}}*2y=frac{y}{sqrt{2xy+y^2}} \ z'_y=frac{1}{2sqrt{2xy+y^2}}*(2x+2y)= frac{x+y}{sqrt{2xy+y^2}}\ z'_{xy}=z'_{yx}=frac{sqrt{2xy+y^2}- y*frac{1}{2sqrt{2xy+y^2}}*(2x+2y)}{2xy+y^2}=\ =frac{sqrt{2xy+y^2}- frac{xy+y^2}{sqrt{2xy+y^2}}}{2xy+y^2}=frac{2xy+y^2 - xy+y^2}{(2xy+y^2)*sqrt{2xy+y^2}} = \ =frac{2x+y - x+ y}{(2x+y)*sqrt{2xy+y^2}} = frac{x+2y}{(2x+y)*sqrt{2xy+y^2}}$
$z'_{x^2}=(y(2xy-y^2)^{-frac1 2})'=-frac y 2 (2xy+y^2)^{-frac{3}{2}}\ z'_{y^2}=frac{sqrt{2xy+y^2}-frac{1}{2sqrt{2xy+y^2}}2y(x+y)}{2xy+y^2}= frac{sqrt{2xy+y^2}-frac{y(x+y)}{sqrt{2xy+y^2}}}{2xy+y^2}$
$z'_{x^3}=frac{3}{2}2y^2(2xy+y^2)^{-frac{5}{2}}*2y=6y^3(2xy+y^2)^{-frac{5}{2}}\ z'_{y^3}=frac{(2x+2y-1)(2xy+y^2)^{frac 3 2} - (2xy+y^2-x-y)*frac{3}{2}(2xy+y^2)^{frac 1 2}(2x+2y)}{(2xy+y^2)^3}$
$z'_{x^2y}=frac{1*(2x+y)*sqrt{2xy+y^2}-(x+2y)(2*sqrt{2xy+y^2}+(2x+y)frac{2y}{2sqrt{2xy+y^2}})}{(2x+y)^2(2xy+y^2)}=\ frac{(2x+y)*sqrt{2xy+y^2}-(x+2y)(2*sqrt{2xy+y^2}+(2x+y)frac{y}{sqrt{2xy+y^2}})}{(2x+y)^2(2xy+y^2)}\ z'_{xy^2}= frac{2*(2x+y)*sqrt{2xy+y^2}-(x+2y)(2*sqrt{2xy+y^2}+(2x+y)frac{2y}{2sqrt{2xy+y^2}})}{(2x+y)^2(2xy+y^2)}=\ frac{2(2x+y)*sqrt{2xy+y^2}-(x+2y)(2*sqrt{2xy+y^2}+(2x+y)frac{y}{sqrt{2xy+y^2}})}{(2x+y)^2(2xy+y^2)}$

Answer 2

а можно еще по z(xx) и z(yy)? производные второго порядка

Answer 3

z'(xxx) и z'(yyy)