Question

докажите, что $f'(x^p)=px^{p-1}$

Answer 1

Фиксируем $x in mathbb{D}(f),$ придадим приращение аргументу $Delta x$. Вычислим приращение функции:
$Delta y=(x+Delta x)^p-x^p$
Или:
$Delta y=x^p[(1+ frac{ Delta x}{x})^p-1]$

То очевидно:
$(x^a)'=lim_{Delta x to0} frac{Delta y}{Delta x}= frac{x^p[(1+ frac{ Delta x}{x})^p-1]}{Delta x}$
Можно заменить на эквивалентную бесконечную малую:
$(x^a)'=lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x}= frac{p*x^p* frac{Delta x}{x} }{Delta x}$
Откуда следует:
$f'(x^p)=px^{p-1}$