Question

Математики на помощь, нужно завтра сдать! Нужно походовое решение!
Доказать, что при любом натуральном n имеет место неравенство
$S _{n} = frac{1}{ 2^{2} } + frac{1}{ 3^{3} } +...+ frac{1}{ n^{2} } textless 1$

Answer 1

для любого натурального n>1 справедливо неравенство
$frac{1}{n^2}<frac{1}{n(n-1)}$ <=>
$n^2>n(n-1)$
$n^2>n^2-n$
$0>-n$ ,что очевидно

а так как $frac{1}{1*2}+frac{1}{2*3}+....+frac{1}{n(n-1)}=$
$frac{2-1}{1*2}+frac{3-2}{2*3}+...frac{n-(n-1)}{n(n-1)}=$
$1-frac{1}{2}+frac{1}{2}-frac{1}{3}+...+frac{1}{n-1}-frac{1}{n}=$
$1-frac{1}{n}$

то $S_n=frac{1}{2^2}+frac{1}{3^2}+...+frac{1}{n^2}<$
$frac{1}{1*2}+frac{1}{2*3}+..+frac{1}{n(n-1)}=1-frac{1}{n}$
$S_n<1-frac{1}{n}<1$

более строго можно доказать используя в доказательстве метод мат. индукции...