Question

В рав­но­бед­рен­ную тра­пе­цию, пе­ри­метр ко­то­рой равен 120, а пло­щадь равна 540, можно впи­сать окруж­ность. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей тра­пе­ции до её мень­ше­го ос­но­ва­ния.

Answer 1

Свойство трапеции, в которую вписана окружность - сумма оснований равна сумме боковых сторон.

Средняя линия трапеции равна L = 120 / (2*2) = 30.
Тогда высота трапеции равна Н = 540 / 30 = 18.
Боковая сторона равна 120/(2*2) = 30.

Находим основания трапеции:
Проекция боковой стороны на нижнее основание равна:
√(30² - 18²) = √(900 -  324) = √ 576 =  24.
Тогда основания равны:
- верхнее: ((120/2) - 2*24) = (60-48)/2 = 12/2 = 6.
- нижнее: 2*24 + 6 = 48 + 6 = 54.

Диагонали образуют 2 подобных треугольника.
Высота трапеции точкой пересечения диагоналей делится на высоты этих треугольников пропорционально основаниям.
Искомое расстояние равно:
18*(6/54) = 18/9 = 2.