Предмет: Алгебра, автор: dimka9828

Вычислите длину дуги кривой:
y= sqrt{x}  , 0 leq x leq 1

Ответы

Автор ответа: gartenzie
0
Для любого участка кривой по теореме Пифагора,
мы можем найти, что:

 dl = sqrt{ dx^2 + dy^2 } ;


Учитывая, что:  dy = f'_x(x) dx , получим, что:

 dl = sqrt{ dx^2 + f'^2_x(x) dx^2 } = dx sqrt{ 1 + f'^2_x(x) } ;


Вся длина кривой:  L_{ab} = intlimits^b_a {} , dl = intlimits^b_a { sqrt{ 1 + f'^2_x(x) } } cdot , dx ;


 f'_x(x) = ( sqrt{x} )'_x = frac{1}{ 2 sqrt{x} } ;

 L_{ab} = intlimits^b_a {} , dl = intlimits^b_a { sqrt{ 1 + frac{1}{4x} } } cdot , dx = intlimits^b_a { sqrt{ frac{ 4x + 1 }{4x} } } cdot , dx =

 = intlimits^b_a { sqrt{ 4x + 1 } cdot , frac{dx}{ 2 sqrt{x} } } = 2 intlimits^b_a { sqrt{ ( sqrt{x} )^2 + frac{1}{4} } } cdot , d sqrt{x} ;


Чуть выше было использовано свойство дифференциала:

 frac{1}{ sqrt{4x} } dx = frac{dx}{ 2 sqrt{x} } } = d sqrt{x} ;

А так же, что:  sqrt{ 4x + 1 } = sqrt{ 4 ( ( sqrt{x} )^2 + frac{1}{4} ) } = 2 sqrt{ ( sqrt{x} )^2 + frac{1}{4} } ;


Известно, что:  int { sqrt{ t^2 + a } } , dt = frac{t}{2} sqrt{ t^2 + a } + frac{a}{2} ln{ ( t + sqrt{ t^2 + a } ) } + C ;


Обозначим  t = sqrt{x}  ,    t^2 = x  ,  и   a = frac{1}{4} , тогда:

 2 int { sqrt{ t^2 + frac{1}{4} } } , d t = t sqrt{ t^2 + frac{1}{4} } + frac{1}{4} ln{ ( t + sqrt{ t^2 + frac{1}{4} } ) } + C =

 = sqrt{ x ( x + frac{1}{4} ) } + frac{1}{4} ln{ ( sqrt{x} + sqrt{ x + frac{1}{4} } ) } + C ;


и:  L = ( sqrt{ x ( x + frac{1}{4} ) } + frac{ ln{ [ sqrt{x} + sqrt{ x + 1/4 }  ] } }{4}  )  |^1_0 =

 = sqrt{ 1 ( 1 + frac{1}{4} ) } + frac{1}{4} ln{ ( sqrt{1} + sqrt{ 1 + frac{1}{4} } ) } - sqrt{ 0 ( 0 + frac{1}{4} ) } - frac{1}{4} ln{ ( sqrt{0} + sqrt{ 0 + frac{1}{4} } ) } =

 = frac{ sqrt{5} }{2} + frac{1}{4} ln{ ( 1 + frac{ sqrt{5} }{2} ) } + frac{ ln{2} }{4} = frac{ sqrt{5} }{2} + frac{1}{4} ln{ ( 2 + sqrt{5} ) } approx 1.47894286 ;


О т в е т :  L = frac{ sqrt{5} }{2} + frac{1}{4} ln{ ( 2 + sqrt{5} ) } .



***  int { sqrt{ t^2 + a } } , dt = frac{t}{2} sqrt{ t^2 + a } + frac{a}{2} ln{ ( t + sqrt{ t^2 + a } ) } + C

– табличный интеграл. Но его можно и доказать.


Для этого, правда нужно знать гиперболическую тригонометрию (экспонометрию Эйлера) функции шинуса, чёсинуса, аршинуса, шинуса и чёсинуса двойного аргумента, связи между которыми аналогичны тригонометрическим с точностью до знака.

В отличие от тригонометрии, все эти функции построены не на описании координат дуги окружности, а на описании координат дуги гиперболы, дополняющей окружность, соответственно:

Основное уравнение:  ch^2{ varphi } - sh^2{ varphi } = 1   ;  Rightarrow ch{ varphi } = sqrt{ sh^2{ varphi } + 1 } ;

 arsh{ z } = ln{ ( z + sqrt{ z^2 + 1 } ) } ;

 sh{ 2 varphi } = 2 sh{ varphi } cdot ch{ varphi } ;

 ch{ 2 varphi } = ch^2{ varphi } + sh^2{ varphi } = 2 ch^2{ varphi } - 1 = 2 sh^2{ varphi } + 1 ;

 ch^2{ varphi } = frac{ ch{ 2 varphi } + 1 }{2} ;

 ch'{ varphi } = sh{ varphi } ;

 sh'{ varphi } = ch{ varphi } ;

 int { ch{ varphi } } , d varphi = sh{ varphi } + C ;

 int { sh{ varphi } } , d varphi = ch{ varphi } + C ;



Ну а теперь, обозначим:

 t = sqrt{a} cdot sh{ varphi }  ,   varphi = arsh{ frac{t}{ sqrt{a} } } = ln{ ( t + sqrt{ t^2 + a } ) } - frac{1}{2} ln{a}        и поехали:

 int { sqrt{ t^2 + a } } , dt = int { sqrt{ a sh^2{ varphi } + a } } , d ( sqrt{a} sh{ varphi } ) = a int { sqrt{ sh^2{ varphi } + 1 } cdot ch{ varphi } } , d varphi =

 = a int { ch{ varphi } cdot ch{ varphi } } , d varphi = a int { ch^2{ varphi } } , d varphi = a int { frac{ ch{ 2 varphi } + 1 }{2} } , d varphi =

 = frac{a}{4} int { ch{ 2 varphi } } , d ( 2 varphi ) + frac{a}{2} int {} , d varphi = frac{a}{4} sh{ 2 varphi } + frac{a}{2} varphi + C =

 = frac{a}{2} sh{ varphi } ch{ varphi } + frac{a}{2} ln{ ( t + sqrt{ t^2 + a } ) } + C =

 = frac{a}{2} frac{t}{ sqrt{a} } sqrt{ frac{t^2}{a} + 1 } + frac{a}{2} ln{ ( t + sqrt{ t^2 + a } ) } + C =

 = frac{t}{2} sqrt{ t^2+a } + frac{a}{2} ln{ ( t + sqrt{ t^2 + a } ) } + C , что и требовалось доказать.
Автор ответа: dimka9828
0
ухх) спасибо)
Автор ответа: dimka9828
0
а я на первом курсе в техникуме)
Автор ответа: gartenzie
0
Хороший техникум. Удвчи!
Автор ответа: dimka9828
0
ахаха)))
Автор ответа: dimka9828
0
какое нарушение?
Похожие вопросы
Предмет: Математика, автор: saffddfg