Question

Вычислите длину дуги кривой:
$y= sqrt{x} , 0 leq x leq 1$

Answer 1

Для любого участка кривой по теореме Пифагора,
мы можем найти, что:

$dl = sqrt{ dx^2 + dy^2 }$ ;


Учитывая, что: $dy = f'_x(x) dx ,$ получим, что:

$dl = sqrt{ dx^2 + f'^2_x(x) dx^2 } = dx sqrt{ 1 + f'^2_x(x) }$ ;


Вся длина кривой: $L_{ab} = intlimits^b_a {} , dl = intlimits^b_a { sqrt{ 1 + f'^2_x(x) } } cdot , dx$ ;


$f'_x(x) = ( sqrt{x} )'_x = frac{1}{ 2 sqrt{x} }$ ;

$L_{ab} = intlimits^b_a {} , dl = intlimits^b_a { sqrt{ 1 + frac{1}{4x} } } cdot , dx = intlimits^b_a { sqrt{ frac{ 4x + 1 }{4x} } } cdot , dx =$

$= intlimits^b_a { sqrt{ 4x + 1 } cdot , frac{dx}{ 2 sqrt{x} } } = 2 intlimits^b_a { sqrt{ ( sqrt{x} )^2 + frac{1}{4} } } cdot , d sqrt{x}$ ;


Чуть выше было использовано свойство дифференциала:

$frac{1}{ sqrt{4x} } dx = frac{dx}{ 2 sqrt{x} } } = d sqrt{x}$ ;

А так же, что: $sqrt{ 4x + 1 } = sqrt{ 4 ( ( sqrt{x} )^2 + frac{1}{4} ) } = 2 sqrt{ ( sqrt{x} )^2 + frac{1}{4} }$ ;


Известно, что: $int { sqrt{ t^2 + a } } , dt = frac{t}{2} sqrt{ t^2 + a } + frac{a}{2} ln{ ( t + sqrt{ t^2 + a } ) } + C$ ;


Обозначим $t = sqrt{x} , t^2 = x ,$ и $a = frac{1}{4} ,$ тогда:

$2 int { sqrt{ t^2 + frac{1}{4} } } , d t = t sqrt{ t^2 + frac{1}{4} } + frac{1}{4} ln{ ( t + sqrt{ t^2 + frac{1}{4} } ) } + C =$

$= sqrt{ x ( x + frac{1}{4} ) } + frac{1}{4} ln{ ( sqrt{x} + sqrt{ x + frac{1}{4} } ) } + C$ ;


и: $L = ( sqrt{ x ( x + frac{1}{4} ) } + frac{ ln{ [ sqrt{x} + sqrt{ x + 1/4 } ] } }{4} ) |^1_0 =$

$= sqrt{ 1 ( 1 + frac{1}{4} ) } + frac{1}{4} ln{ ( sqrt{1} + sqrt{ 1 + frac{1}{4} } ) } - sqrt{ 0 ( 0 + frac{1}{4} ) } - frac{1}{4} ln{ ( sqrt{0} + sqrt{ 0 + frac{1}{4} } ) } =$

$= frac{ sqrt{5} }{2} + frac{1}{4} ln{ ( 1 + frac{ sqrt{5} }{2} ) } + frac{ ln{2} }{4} = frac{ sqrt{5} }{2} + frac{1}{4} ln{ ( 2 + sqrt{5} ) } approx 1.47894286$ ;


О т в е т : $L = frac{ sqrt{5} }{2} + frac{1}{4} ln{ ( 2 + sqrt{5} ) } .$



*** $int { sqrt{ t^2 + a } } , dt = frac{t}{2} sqrt{ t^2 + a } + frac{a}{2} ln{ ( t + sqrt{ t^2 + a } ) } + C$

– табличный интеграл. Но его можно и доказать.


Для этого, правда нужно знать гиперболическую тригонометрию (экспонометрию Эйлера) функции шинуса, чёсинуса, аршинуса, шинуса и чёсинуса двойного аргумента, связи между которыми аналогичны тригонометрическим с точностью до знака.

В отличие от тригонометрии, все эти функции построены не на описании координат дуги окружности, а на описании координат дуги гиперболы, дополняющей окружность, соответственно:

Основное уравнение: $ch^2{ varphi } - sh^2{ varphi } = 1 ; Rightarrow ch{ varphi } = sqrt{ sh^2{ varphi } + 1 }$ ;

$arsh{ z } = ln{ ( z + sqrt{ z^2 + 1 } ) }$ ;

$sh{ 2 varphi } = 2 sh{ varphi } cdot ch{ varphi }$ ;

$ch{ 2 varphi } = ch^2{ varphi } + sh^2{ varphi } = 2 ch^2{ varphi } - 1 = 2 sh^2{ varphi } + 1$ ;

$ch^2{ varphi } = frac{ ch{ 2 varphi } + 1 }{2}$ ;

$ch'{ varphi } = sh{ varphi }$ ;

$sh'{ varphi } = ch{ varphi }$ ;

$int { ch{ varphi } } , d varphi = sh{ varphi } + C$ ;

$int { sh{ varphi } } , d varphi = ch{ varphi } + C$ ;



Ну а теперь, обозначим:

$t = sqrt{a} cdot sh{ varphi } , varphi = arsh{ frac{t}{ sqrt{a} } } = ln{ ( t + sqrt{ t^2 + a } ) } - frac{1}{2} ln{a}$   и поехали:

$int { sqrt{ t^2 + a } } , dt = int { sqrt{ a sh^2{ varphi } + a } } , d ( sqrt{a} sh{ varphi } ) = a int { sqrt{ sh^2{ varphi } + 1 } cdot ch{ varphi } } , d varphi =$

$= a int { ch{ varphi } cdot ch{ varphi } } , d varphi = a int { ch^2{ varphi } } , d varphi = a int { frac{ ch{ 2 varphi } + 1 }{2} } , d varphi =$

$= frac{a}{4} int { ch{ 2 varphi } } , d ( 2 varphi ) + frac{a}{2} int {} , d varphi = frac{a}{4} sh{ 2 varphi } + frac{a}{2} varphi + C =$

$= frac{a}{2} sh{ varphi } ch{ varphi } + frac{a}{2} ln{ ( t + sqrt{ t^2 + a } ) } + C =$

$= frac{a}{2} frac{t}{ sqrt{a} } sqrt{ frac{t^2}{a} + 1 } + frac{a}{2} ln{ ( t + sqrt{ t^2 + a } ) } + C =$

$= frac{t}{2} sqrt{ t^2+a } + frac{a}{2} ln{ ( t + sqrt{ t^2 + a } ) } + C$ , что и требовалось доказать.

Answer 2

ухх) спасибо)

Answer 3

а я на первом курсе в техникуме)

Answer 4

Хороший техникум. Удвчи!

Answer 5

ахаха)))

Answer 6

какое нарушение?