Question

4x^2-x^4 Исследовать и построить график функции.

Answer 1

1. Область определения функции: множество всех действительных чисел

$mathrm{D(f)=(-infty;+infty).}$

2. Чётность и нечётность функции: проверим на четность функции с помощью соотношений: $mathrm{f(-x)=-f(x)=f(x)}$

$boldsymbol{f(-x)=4cdot(-x)^2-(-x)^4=4x^2-x^4=f(x)}$

Итак, f(-x) = f(x) значит заданная функция является четной.

3. Точки пересечения с осями координат.

3.1. точки пересечения с осью Ох. График функции пересекает ось абсциссу при f = 0 значит нужно решить уравнение:

$boldsymbol{4x^2-x^4=0}\ boldsymbol{-x^2(x^2-4)=0}\ boldsymbol{x_1=0;}\ boldsymbol{x_2=2}\ boldsymbol{x_3=-2}$

(0;0), (2;0), (-2;0) - точки.

3.2. точки пересечения с осью Оу. График пересекает ось ординат, когда х=0, т.е. подставляем x=0 в функцию, получим

$boldsymbol{f(0)=4cdot0^2-0^4=0}$

(0;0) - точка

4. Функция не является периодичной.

5. Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение $f'(x)=0$

$boldsymbol{f'(x)=(4x^2-x^4)'=(4x^2)'-(x^4)'=8x-4x^3}\boldsymbol{8x-4x^3=0}\ boldsymbol{-4x(x^2-2)=0}\ boldsymbol{x_1=0}\ boldsymbol{x_{2,3}=pmsqrt{2}}$

Найдем интервалы возрастание и убывания функции:

______+____(-√2)_____-____(0)________+_____(√2)______-____

Функция возрастает на промежутке $x in (-infty;-sqrt{2})cup(0;sqrt{2} )$, а убывает - $x in (-sqrt{2};0 )cup(sqrt{2} ;+infty)$

$x=pmsqrt{2}$ - локальные максимумы

$x=0$ - локальный минимум.

6. Точки перегиба.

Вторая производная функции: $boldsymbol{f''(x)=-12x^2+8}$

$boldsymbol{-12x^2+8=0}\ boldsymbol{x_{1,2}=dfrac{sqrt{6} }{3}}$

___-____(-√6/3)____+__(√6/3)___-____

Функция вогнутая на промежутке $x in (-frac{sqrt{6} }{3} ;frac{sqrt{6} }{3} )$, а выпуклая на промежутке $x in (-infty;-frac{sqrt{6} }{3} )cup(frac{sqrt{6} }{3} ;+infty)$

7. Асимптоты

Здесь вертикальных асимптот нет. Найдем теперь горизонтальные асимптоты.

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при $xto pminfty$

$displaystyle boldsymbol{ lim_{x to pminfty} (-x^4+4x^2)=pminfty}$

Предел не существует, следовательно горизонтальной асимптоты нет.

Вертикальной асимптоты нет.