Question

HELP ME!!!!! Решить уравнение, то что получилось от показательного ур-ния дорешайте плиз..-----= 2cos(x)*sin(x)= -sqrt(2*sin(x))=----
p.s. sqrt это корень

Answer 1

$( 36^{ cos{x} } )^{ sin{x} } = ( frac{1}{6} )^{ sqrt{ 2 sin{x} } }$ ;

$(6^2)^{ cos{x} cdot sin{x} } = ( 6^{-1} )^{ sqrt{ 2 sin{x} } }$ ;

$6^{ 2 cos{x} cdot sin{x} } = 6^{ - sqrt{ 2 sin{x} } }$ ;

$2 cos{x} cdot sin{x} = - sqrt{ 2 sin{x} }$ ;



ОДЗ

Синус и косинус, одновременно не должны иметь одинаковый знак, поскольку тогда левая часть будет положительной, а правая не может быть положительной. Кроме того, синус не может быть отрицательным, поскольку тогда не извлечётся корень. Стало быть, синус должен быть неотрицательным, а косинус должен быть неположительным. Математически это можно записать так:

$left{begin{array}{l} cos{x} cdot sin{x} leq 0 , \ sin{x} geq 0 ; end{array}right$

$left[begin{array}{l} left{begin{array}{l} cos{x} leq 0 , \ sin{x} geq 0 ; end{array}right \ x = pi n , n in Z ; end{array}right$

$x + 2 pi n in { 0 , [ frac{ pi }{2} ; pi ] } ,$ где $n in Z$ ;



$4 cos^2{x} cdot sin^2{x} = 2 sin{x}$ ;

$2 cos^2{x} cdot sin^2{x} = sin{x}$ ;

$sin{x} ( 2 cos^2{x} cdot sin{x} - 1 ) = 0$ ;


Один из корней $sin{x} = 0 ; Rightarrow x = pi n ,$ где $n in Z$ ;


Рассмотрим: $2 cos^2{x} cdot sin{x} - 1 = 0$ ;


Дорешаем двумя способами:


[[[ 1 способ ]]]

$2 cos{x} cdot sin{x} cdot cos{x} - 1 = 0$ ;

$sin{2x} cdot cos{x} = 1$ ;

Это возможно только когда $cos{x} = pm 1$ ;

Но тогда $x = pi n ,$ где $n in Z$ ;

А в этом случае $sin{2x} = sin{ ( 2 pi n ) } = 0$ ;

Стало быть, равенство $sin{2x} cdot cos{x} = 1$ невозможно
и других корней нет.



[[[ 2 способ ]]]

$2 ( 1 - sin^2{x} ) cdot sin{x} - 1 = 0$ ;

$2 sin^3{x} - 2 sin{x} + 1 = 0$ ;


Обозначим $y = sin{x}$ ;

Тогда уравнение перепишется, как:

$2 y^3 - 2 y + 1 = 0$ ;

Производная функции $f(y) = 2 y^3 - 2 y + 1$ равна $f(y)'_y = 6 y^2 - 2$

и рана нулю при $y = pm frac{1}{ sqrt{3} } .$


Причём, с учётом того, что производная отрицательна между этими значениями, получаем, что в $y = frac{1}{ sqrt{3} }$ функция имеет локальный минимум, причём: $f( y = frac{1}{ sqrt{3} } ) = 2 ( frac{1}{ sqrt{3} } )^3 - 2 ( frac{1}{ sqrt{3} } ) + 1 =$

$= frac{2}{ 3 sqrt{3} } - frac{2}{ sqrt{3} } + 1 = 1 - frac{4}{ 3 sqrt{3} } = 1 - sqrt{ frac{16}{27} } > 0$ ;

А значит функция $f(y)$ пересекает ось абсцисс только один раз, до локального максимума в точке $y = - frac{1}{ sqrt{3} } ,$ в котором она очевидно положительна.

Причём при $y = 0$ функция $f( y = 0 ) = 1 > 0 ,$

но ведь по определению $y = sin{x} geq 0$ – по установленному в ОЗД.

А значит, других корней нет.




О т в е т : $x = pi n ,$ где $n in Z .$