Question

Помогите решить. Подробно, если можно.$1) frac{1+sinx+cosx}{1+sinx-cosx} = ctg frac{x}{2} \ 2) frac{cos3x+cos4x+cos5x}{sin3x+sin4x+sin5x} = ctg4x$

Answer 1

В 1-ом примере в правой части у ctg половинный угол, это уже подсказка, т.е. углы sinx и cosx можно расписать как sin(2*x/2) и cos(2*x/2), а 1 (единицу) как sin²x+cos²x, но за x берём x/2:

$frac{1+sinx+cosx}{1+sinx-cosx}=ctg frac{x}{2} \\1+sinx+cosx= 1+sin (2*frac{x}{2})+cos (2*frac{x}{2})=\=sin^2 frac{x}{2} +cos^2 frac{x}{2} +2sin frac{x}{2}cos frac{x}{2}+cos^2 frac{x}{2}-sin^2frac{x}{2}=\=2cos ^2frac{x}{2}+2sin frac{x}{2}cosfrac{x}{2}=2cosfrac{x}{2}(cosfrac{x}{2}+sinfrac{x}{2});$ 

$\\1+sinx-cosx=sin^2frac{x}{2}+cos^2frac{x}{2}+2sinfrac{x}{2}cosfrac{x}{2}-(cos^2frac{x}{2}-sin^2frac{x}{2})=\=2sin^2frac{x}{2}+2sinfrac{x}{2}cosfrac{x}{2}=2sinfrac{x}{2}(sinfrac{x}{2}+cosfrac{x}{2}); \\frac{2cosfrac{x}{2}(cosfrac{x}{2}+sinfrac{x}{2})}{2sinfrac{x}{2}(sinfrac{x}{2}+cosfrac{x}{2})}=frac{cosfrac{x}{2}}{sinfrac{x}{2}}=ctgfrac{x}{2};$



Во 2-ом примеру пользуемся формулами преобразования суммы функций в произведение и после будет видно что выносить за скобку, для упрощения:

$frac{cos3x+cos4x+cos5x}{sin3x+sin4x+sin5x}=ctg4x\\cos3x+cos5x=2cosfrac{3x+5x}{2}cosfrac{3x-5x}{2}=2cos4xcosx;\sin3x+sin5x=2sinfrac{3x+5x}{2}cosfrac{3x-5x}{2}=2sin4xcosx;\\frac{2cos4xcosx+cos4x}{2sin4xcosx+sin4x}=frac{cos4x(2cosx+1)}{sin4x(2cosx+1)}=frac{cos4x}{sin4x}=ctg4x$

Почему я сложил sin3x и sin5x, а, к примеру, не sin3x и sin4x (то же с cosx), потому, что зная формулу, а именно что надо сложить два угла и разделить на 2, мы сразу увидим, в данном примере, угол 4x, в общем общий множитель. Да и всегда удобнее складывать и вычитать два нечетных числа, т.е. нечетное с нечетным, а четное с четным. Ответы будут чётными, а это значит, что будет делиться на 2 без остатка.