Question

В параллелограмме $ABCD , AD = 6,$ высота $BB_1$ делит $AD$ пополам,
а другая высота $BB_2 = 4.8 , A_1$ делит $BC$ в отношении $BA_1 : A_1C = 1 : 2 ,$
$AA_1$ пересекает $BD$ в точке $D_1 , CB_1$ пересекает $BD$ в точке $C_1 .$

Найти площадь $A B_1 C_1 D_1 .$

Answer 1

Треугольники АВВ₁ и В₂ВС подобны по двум углам (одни прямые, другие- противоположные углы параллелограмма).
Находим сторону В₂С по Пифагору:
В₂С = √(6² - 4,8²) = √(36 -  23,04) =  √12,96  = 3,6.
Отсюда можно найти высоту параллелограмма ВВ₂ из подобия треугольников:
ВВ₁ / ВВ₂ = АВ₁ / В₂С.
ВВ₁ = ВВ₂*АВ₁ / В₂С = 4,8*3 / 3,6 = 4.

Площадь заданного четырёхугольника АД₁С₁В₁ равна площади треугольника АД₁Д минус площадь треугольника В₁С₁Д.

Высоты этих треугольников находим из соотношения сторон двух пар  подобных треугольников:
∴АД₁Д  ∴ВД₁А₁,
∴В₁С₁Д  ∴ВС₁С.
S(АД₁Д) = (1/2)*6*((6/(6+2))*4) = 3*3 = 9 кв.ед.
S(В₁С₁Д) = (1/2)*3*((3/(3+6))*4 = (1/2)*3*(1/3)*4 = 2.

Ответ: S(АД₁С₁В₁) = 9 - 2 = 7.