Первая окружность с центром O, вписанная в равнобедренный треугольник KLM , касается боковой стороны KL в точке B , а основания ML — в точке A. Вторая окружность с центром O_1 касается основания ML и продолжений боковых сторон. а) Докажите, что треугольник OLO_1 прямоугольный. б) Найдите радиус второй окружности, если известно, что радиус первой равен 6 и AK =16 .
Ответы
Первая окружность с центром O, вписанная в равнобедренный треугольник KLM , касается боковой стороны KL в точке B , а основания ML — в точке A. Вторая окружность с центром O1 касается основания ML и продолжений боковых сторон.
а) Докажите, что треугольник OLO1 прямоугольный.
б) Найдите радиус второй окружности, если известно, что радиус первой равен 6 и AK =16
––––––––––––––
а)
Пусть окружность с центром О1 касается продолжения KL в точке С.
Обе окружности вписаны в один и тот же угол МАL. Центр вписанной в угол окружности лежит на его биссектрисе.
Треугольник MKL- равнобедренный, следовательно, АК - его биссектриса и высота,⇒
АК⊥ML. Т.к. центры обеих окружностей лежат на АК
а угол КАМ - прямоугольный, то ML- общая касательная, и точка А - общая точка касания.
В то же время эти окружности вписаны в углы КLA и CLA соответственно, и центры окружностей лежат на биссектрисе LO - для вписанной в треугольник окружности с центром О, и биссектрисе LO1- для вневписанной окружности с центром О1.
Угол KLC- развернутый, поэтому углы КLA CLA- смежные.
LO и LО1- биссектрисы углов КLA и ALC и делят их пополам, а сумма половин смежных углов равна 90º.⇒
угол ОLО1=90º, что и требовалось доказать.
б)
Треугольник ОLO1 прямоугольный. АL в нем высота ( т.к. угол О1АL=90º).
Высота, проведенная из прямого угла к гипотенузе - среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу, а в нашем случае - между радиусами обеих окружностей.
AL² =ОА•О1А
Длина AL неизвестна, но ее можно найти.
АК=16, ОА=6, ⇒ОК=10.
Из ⊿ КВО по т.Пифагора найдем КВ=8 ( кстати, отношение катета ОВ к гипотенузе КО=3:5 – треугольник египетский).
В ⊿ КАL отрезки АL = BL - отрезки касательных из одной точки ( свойство).
Примем КL и AL =x
Тогда по т.Пифагора
КL²=KA²+AL²
(8+x)²=256+x²⇒
64+16x=256
16x=192
x=12
AL² =ОА•О1А
144=6 O1A
O1A=24 - это радиус второй окружности.
