Question

Из точки А, лежащей вне окружности с центром в точке О, к этой окружности проведены две касательные. Докажите, что отрезок, соединяющий точки касания, перпендикулярен отрезку АО.

Answer 1

Пусть точки касания будут В и С. Соединим ВО и СО. Это получились радиусы окр-ти.Тогда треуг-к ОВС равнобедренный и углы при основании равны: <СВО=<ВСО. Но радиусы, проведённые в точку касания,  перпендикулярны касательным АВ и АС. Тогда <АВО=<АСО=90. ΔАОВ=ΔАОС (по трем сторонам, т.к.ОВ=ОС, ОА-общая,АВ=АС как отрезки касательных, проведенных из одной точки.) Тогда <АОВ=<АОС.      Обозначим точку пересечения ВС и АО через К. Значит ОК (ОА) - биссектриса равнобедренного Δ, а значит и высота. ОА перпенд-на ВС.