Question

Помогите решить логорифмическое неравенство! log21+4x-x^2(7-x)/logx+3(21+4x-x^2)<1/4

Answer 1

$frac{log_{21+4x-x^2}(7-x)}{log_{x+3}(21+4x-x^2)} textless frac{1}{4}$
ОДЗ: 21 + 4x - x² > 0
          21 + 4x - x² ≠ 1
          7 - x > 0
          x + 3 > 0
          x + 3 ≠ 1

21 + 4x - x² > 0
x² - 4x - 21 < 0

x² - 4x - 21 = 0
По теореме Виета: x₁ = -3, x₂ = 7.

x² - 4x - 21 < 0
x ∈ (-3; 7)

21 + 4x - x² ≠ 1
x² - 4x - 20 ≠ 0
D = 16 + 80 = 96
$x_1 neq frac{4- sqrt{96}}{2} = 2 -sqrt{24} = 2(1-sqrt{6}) \ x_2 neq frac{4+sqrt{96}}{2} = 2+sqrt{24}=2(1+sqrt{6})$

7 - x > 0
x < 7

x + 3 > 0
x > -3

x + 3 ≠ 1
x ≠ -2

Окончательно, ОДЗ: x ∈ (-3; $2(1-sqrt{6})$) U ($2(1-sqrt{6})$; -2) U (-2; $2(1+sqrt{6})$) U ($2(1+sqrt{6})$; 7).

Решаем само неравенство:
$frac{log_{-(x+3)(x-7)}(7-x)}{log_{x+3}(-(x+3)(x-7))} textless frac{1}{4} \ frac{log_{(x+3)(7-x)}(7-x)}{log_{x+3}((x+3)(7-x))} textless frac{1}{4}$
$frac{1}{log_{7-x}((x+3)(7-x))*log_{x+3}((x+3)(7-x))} textless frac{1}{4} \ frac{1}{(log_{7-x}(x+3)+1)*(1+ log_{x+3}(7-x))} textless frac{1}{4}$
$frac{1}{( frac{1}{ log_{x+3}(7-x)}+1)*(1+ log_{x+3}(7-x))} textless frac{1}{4} \ frac{log_{x+3}(7-x)}{(1+ log_{x+3}(7-x))^2} textless frac{1}{4}$
Замена:
$t=log_{x+3}(7-x) \ frac{t}{(1+t)^2} textless frac{1}{4} \ frac{4t-(1+t)^2}{4(1+t)^2} textless 0$
$frac{4t-1-2t-t^2}{4(1+t)^2} textless 0 \ frac{-(1-t)^2}{4(1+t)^2} textless 0$
$frac{(1-t)^2}{4(1+t)^2} textgreater 0$
t ≠ 1
t ≠ -1
Делаем обратную замену:
$log_{x+3}(7-x) neq 1 \ log_{x+3}(7-x) neq -1$

$7-x neq x+3\ 7-x neq frac{1}{x+3}$

$2x neq 4\ frac{(7-x)(x+3)-1}{x+3} neq 0$

$x neq 2\ frac{20+4x-x^2}{x+3} neq 0$

$x neq 2\ x^2-4x-20 neq 0 \ x+3 neq 0$

$x neq 2\ x^2-4x-20 neq 0 \ xneq -3$

Учитывая ОДЗ, окончательный ответ: x ∈ (-3; $2(1-sqrt{6})$) U ($2(1-sqrt{6})$; -2) U (-2; 2) U (2; $2(1+sqrt{6})$) U ($2(1+sqrt{6})$; 7).