Четырехугольник ABCD вписан в окружность радиуса 5. Если при этом сторона AB равна стороне вписанного в эту окружность правильного треугольника, сторона BC-стороне вписанного в эту окружность правильного 9-угольника, а сторона CD-стороне вписанного в эту окружность правильного 18-угольника, то длина стороны AD равна?...
Ответы
Радиус окружности описанной вокруг многоугольника определяется по формуле
R=a/(2*sin(360/2*n)))
Откуда
а=2R*sin(360/2n)
Для правильного треугольника
a=2*5*sin(60°)=10*sin(60°)=5*sqrt(3)
Для правильного 9-угольника
a=2*5*sin(20°)=10*sin(20°)
Для правильного 18-угольника
a=2*5*sin(10°)=10*sin(10°)
то есть
AB=5*sqrt(3)
BC=10*sin(20°)
CD=10*sin(10°)
Вокруг четырехугольника можно описать окружность если сумы противоположных сторон равны, то есть
AB+CD=BC+AD
5*sqrt(3)+10*sin(10°)=10*sin(20°)+AD
AD= 5*sqrt(3)+10*sin(10°)-10*sin(20°)=
=5*sqrt(3)+10*(sin(10°)-sin(20°))