Question

Разность между пятым и первым членом геометрической прогрессии равна 15, а разность между четвёртым и вторым членами равна 3. Найти эту прогрессию.

Answer 1

Запишем условие задачи в виде системы уравнений:
{a₁q⁴ - a₁ = 15
{a₁q³ - a₁q = 3.
Вынесем за скобки общий множитель:
{a₁(q⁴ - 1) = 15          {a₁(q² - 1)(q² + 1) = 15     
{a₁q(q² - 1) = 3          {a₁q(q² - 1) = 3.
Разделим левые и правые части равенств первое на второе:
(q² + 1) / q = 5.
Получаем квадратное уравнение:
q² - 5q + 1 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно q: 
Ищем дискриминант:D=(-5)^2-4*1*1=25-4=21;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
q₁=(√21-(-5))/(2*1)=(√21+5)/2=√21/2+5/2=√21/2+2.5 ≈ 4.791288;
q₂=(-√21-(-5))/(2*1)=(-√21+5)/2=-√21/2+5/2=-√21/2+2.5 ≈ 0.208712.
a₁(₁) = 15 / (q₁⁴ - 1) =  0.028517.
a₁(₂) = 15 / ( (q₂⁴ - 1) =  -15.028517.
Получаем 2 прогрессии:
$a_n=0.028517*4.791288^{n-1}$.
$a_n=-15.028517*0.208712^{n-1}.$