Question

определите все значения a, при каждом из которых уравнение имеет xотя бы одно решение: 4^(-x^2) - a*2^(1-x^2) + a / 2^(1-x^2) - 1 = 3

Answer 1

ЕСЛИ НИ В ЧЕМ НЕ ОШИБСЯ!

$4^{-x^2}-a*2^{1-x^2}+frac{a}{2^{1-x^2}}-1=3;\\ frac{1}{4^{x^2}}-frac{2a}{2^{x^2}}+frac{2^{x^2}a}{2}-4=0;\\ 2^{x^2}=t>0;\\ frac{1}{t^2}-frac{2a}{t}+frac{a}{2t}-4=0;\\ 2-4at+a-4t^2=0;\\ 4t^2+4at-a-2=0;\\ D=(4a)^2-4*4(-a-2)=16a^2+16a+32=16(a^2+a+2);$

 

и тогда получается данное уравнение имеет решение при

(дискриминант D>0  при любом а)

$D=16(a^2+a+2)=16*((a+frac{1}{2})^2+frac{3}{4}) geq 16*frac{3}{4}=12$

условии, что

$t_1=frac{-4a-4sqrt{(a+1)(a+2)}}{2*4}>0;\\t_2=frac{-4a+4sqrt{(a+1)(a+2)}}{2*4}>0;$

$a+sqrt{(a+1)(a+2)}<0;\\frac{-4a+4sqrt{(a+1)(a+2)}}{2*4}>0;$

 

$sqrt{a^2+a+2}>-a$

$a geq 0$ - выполняется

a<0;

$a^2+a+2>a^2;\\a+2>0;\\a>-2;\\(-2;+infty)$

 

$-a+sqrt{a^2+a+2}>0;$

$sqrt{a^2+a+2}>a;$

$a leq 0$ - выполняется

a>0;

$a^2+a+2>a^2$

$a+2>0;$

$a>-2$

тогда получается хотя бы одно решение при любом а