Question

Во сколько раз объем шара больше объема наибольшего цилиндра, вписанного в этот шар?

Answer 1

Проведем радиус сферы в точку соприкосновения шара с цилиндром. Угол между этим радиусом и осью цилиндра (проходящего через центр сферы) обозначим как A.

Радиус оснвания цилиндра равен = R sin A

расстояние от центра сферы до основания цилиндра = R cos A

высота цилиндра в два раза больше расстояния от центра сферы до основания цилиндра, т.е. = 2R cos A

Значит объем цилиндра равен V = pi (R sin A)^2 * 2R cosA = pi R^3 * sin^2 A * cos A

Найдем максимум путем дифферинцирования ф-ции объема

V' = pi R^3 ([1-cos^2 A] cos A)'

$((1-cos^2alpha)cosalpha)' = (cosalpha-cos^3alpha)' =\ = -sinalpha + 3cos^2alpha sinalpha =\ =-sinalpha + (3-3sin^2alpha) sinalpha =\ =-sinalpha + 3sinalpha - 3sin^3alpha = sinalpha (2 - 3sin^2alpha)$

т.е. максимум достигается при sin^2 A = 2/3

 

Объем сферы = 4/3 pi R^3

 

Отношение объемов = ( 4/3 pi R^3 ) / ( pi R^3 * sin^2 A * cos A ) = 4 / (3 * sin^2 A * cos A) =

2 / cos A = 2 sqrt(3)

 

Ответ:

$2sqrt{3}$