Question

Пусть p простое число, большее 5. Докажите, что p − 4 не может быть четвертой степе-
нью целого числа.

Answer 1

Пусть $p=a^4+4$ для некоторого натурального $a$.
Тогда $p=(a^4+4a^2+4)-4a^2=(a^2+2)^2-(2a)^2=(a^2-2a+2)(a^2+2a+2)$. Если $p>5$, то $a>1$. При таких $a$ каждая скобка в произведении - натуральное число, большее единицы, чего быть не может, так как $p$ - простое число.