Question

На сторонах AB , BC и AC треугольника ABC взяты точки K , L и T соответственно , причем LCBL= 27 . Найдите площадь треугольника ABC , если KBLT−параллелограмм с площадью, равной 7.

Answer 1

Пусть LC=2x, тогда BL=7x 

КТ=BL=7x(по свойствам параллелограмма)
Теперь рассмотрим треугольники АВС и АКТ
угА=уг.А(общий)
угАКТ=угАВС(т. к. это соответственные углы при параллельных КТ и АС, параллельны они потому что КТ||BL по свойствам параллелограмма, а прямая АС содержи BL)
Следовательнор АКТ подобен АВС, отсюда
$frac{S_{ABC}}{S_{AKT}}=k^2=frac{BC^2}{KT^2}=frac{81x^2}{49x^2}=frac{81}{49}\\S_{AKT}=frac{S_{ABC}*49}{81}$ 
 

Теперь рассмотрим треугольники АВС и LTC
угC=уг.C(общий)
угCLT=угABC(т. к. это соответственные углы при параллельных LТ и АB, параллельны они потому что LТ||BK по свойствам параллелограмма, а прямая АB содержи BK)
Следовательнор LCТ подобен АВС, отсюда
$frac{S_{LTC}}{S_{ABC}}=k^2=frac{LC^2}{BC^2}=frac{4}{81}\\S_{LTC}=frac{4S_{ABC}}{8}$ 
Но нам известно что Sabc=Sakt+Sltc+Skblt Отсюда
$S_{ABC}-S_{AKT}-S_{LTC}=S_{KBLT}=7\S_{ABC}-frac{4*S_{ABC}}{81}-frac{49*S_{ABC}}{81}=7\\S_{ABC}=21frac{21}{26}$