Question

При каких значениях параметра "a" уравнение x⁴-8x²+7=a имеет два корня?
(графически знаю как, нужно алгебраически). Ответ: при a=7 и a<-9.

Answer 1

Далее в тексте будем подразумевать под биквадратным трёхчленом и его коэффициентами выражение $t^2 - 8 t + [7-a] = 0 ,$ где под $t$ подразумевается квадрат переменной $x^2 ,$ т.е. $t = x^2 ,$ а его корнями $t_{1,2}$ – квадраты искомых корней, если они различны, или его чётным корнем $t_o = x^2_{1,2} ,$ если корень биквадратного трёхчлена $t_o$ – единственный.

Наше уравнение вообще имеет решения только тогда, когда дискриминант биквадратного трёхчлена неотрицателен, при этом, в силу чётности биквадратного уравнения, удобно находить чётный дискриминант через половину среднего коэффициента и без множителей в последнем слагаемом, т.е. по формуле $D_1 = ( frac{b}{2} )^2 - ac ,$ тогда $D_1 = 4^2 - [7-a] = 9 + a .$ Потребуем, чтобы $D_1 geq 0 ,$ откуда следует, что $9 + a geq 0 ; Rightarrow a geq -9 .$

Уравнение не может стать просто квадратным, оно всегда будет иметь старшей степенью 4, поскольку старший коэффициент фиксирован и равен единице. Но биквадратное уравнение может выродится, когда его дискриминант равен нолю, что происходит при $a = -9 ,$ а корень биквадратного трёхчлена станет чётным $t_o = 4 ,$ давая два искомых корня $x_{1,2} = pm 2 .$ Это значение $a = -9$ как раз уже и есть одно из искомых решений для параметра $a .$

Когда дискриминант больше нуля и биквадратное уравнение не вырождено, то квадратов искомых корней $x^2 ,$ всегда будет два – левый и правый (меньший и больший), однако при некоторых обстоятельствах левый квадрат искомых корней будет отрицательным, а значит, не будет давать пару искомых корней. Среднеарифметическое квадратов искомых корней $x^2 ,$ по теореме Виета, в применении к биквадратному уравнению, будет равно числу, противоположному половине среднего коэффициента, т.е. оно равно $-frac{b}{2} = -frac{-8}{2} = 4 .$ Отсюда следует, что правый квадрат искомых корней $x^2 ,$ – всегда положителен, а значит, всегда даёт два корня при положительном дискриминанте.

Левый же квадрат искомых корней отрицателен тогда и только тогда, когда этот левый квадрат лежит левее оси ординат, т.е. левее точки $x = 0 .$ А значит, значение всего трёхчлена $x^4 - 8 x^2 + [7-a]$ взятое от $x = 0$ должно давать отрицательное значение, т.е. располагается в нижней межкорневой дуге параболы биквадратного трёхчлена.

Отсюда: $0^4 - 8 cdot 0^2 + [7-a] < 0$ ;

$7 - a < 0$ ;

$a > 7$ ;




О т в е т : $a in { -9 } cup ( 7 ; +infty ) .$