Question

Пожалуйста, помогите найти предел функции lim (3-х) * [ln(1-х) -ln(2-x)] стремящейся к минус бесконечности. Не пользуясь правилом Лопиталя.

Важно решение, а не ответ.

Answer 1

Проблемное место мы имеем в скобке, а именно: из бесконечности вычитается бесконечность - это неопределенность. Уберем ее, затем проверим, решается ли предел или нет.

${ln(1-x)-ln(2-x) = ln(frac{(2-x)}{(2-x)}-frac{1}{(2-x)})=ln(1-frac{1}{(2-x)}) = ln(1+frac{(-1)}{(2-x)})$

Переход от двух логарифмов к одному осуществлен по свойству.

При стремлении $x$ к минус бесконечности мы имеем эквивалентность: $ln(1+x)$ эквивалентно x при стремлении $x$ к $0$, значит:

$frac{(-1)}{(2-x)}$

Перепишем получившийся предел:
$lim((3-x)*frac{(-1)}{(2-x)}) = lim(-frac{(3-x)}{(2-x)})$

Вынесем $x$ за скобки:

$lim(-frac{x*(frac{3}{x}-1)}{x*(frac{2}{x}-1)}) = lim(- frac{(-1)}{(-1)})$
При стремлении $x$ к бесконечности слагаемые $frac{3}{x}$ и $frac{2}{x}$ будут стремиться к 0.

$lim(- frac{(-1)}{(-1)})=-1$

Ответ: -1.

Answer 2

Спасибо огромное) 

Answer 3

На здоровье!