Question

Найдите точку минимума функции y=2/3x√x-2x+1

Answer 1

Ответ:

4 - точка минимума.

Объяснение:

Найдем точку минимума функции

$y=\dfrac{2}{3} x\sqrt{x} -2x+1$

так как арифметический квадратный корень определен на множестве неотрицательных чисел, то  область определения данной функции

D(y)= [0; +∞)

Преобразуем функцию

$y=\dfrac{2}{3} x\sqrt{x} -2x+1=\dfrac{2}{3} x\cdot x^{\dfrac{1}{2} } -2x+1=\dfrac{2}{3} x^{\dfrac{3}{2} } -2x+1$

Найдем производную функции, воспользовавшись формулой

$(x^{n} )'=n\cdot x^{n-1}$

$y'=\left(\dfrac{2}{3} x^{\dfrac{3}{2} } -2x+1\right )'=\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{2} x^{\dfrac{1}{2} } -2=x^{\dfrac{1}{2} } -2=\sqrt{x} -2$

Найдем критические точки, решив уравнение $y'=0$

$\sqrt{x} -2=0;\\\sqrt{x} =2;\\x=4$

Определим знак производной при переходе через данную точку

$y'(1)=\sqrt{1} -2=1-2=-1 < 0;\\y'(9)=\sqrt{9} -2=3-2=1 > 0.$

Производная меняет свой знак с " - " на " + ", то данная точка является точкой минимума.

$x{_{min}}=4$