Question

Помогите, пожалуйста, решить это неравенство...нигде решений не могу найти....

Answer 1

$log_{x+1}(2x+7)\cdot log_{x+1}\frac{2x+7}{(x+1)^3} \leq -2\\\\ODZ:\; \left \{ {{2x+7\ \textgreater \ 0\; ,\; \frac{2x+7}{(x+1)^3}\ \textgreater \ 0} \atop {x+1\ \textgreater \ 0\; ,\; x+1\ne 1}} \right. \; ,\; \left \{ {{x\ \textgreater \ -3,5\; ;\; x\in (-\infty ;-3,5)\cup (-1,+\infty )} \atop {x\ \textgreater \ -1\; ,\; x\ne 0}} \right. \Rightarrow \\\\x\in (-1,0)\cup (0,+\infty )\\\\log_{x+1}(2x+7)\cdot (log_{x+1}(2x+7)-log_{x+1}(x+1)^3)+2 \leq 0\\\\log_{x+1}^2(2x+7)-3log_{x+1}(2x+7)+2 \leq 0\\\\t=log_{x+1}(2x+7)\; ,\; \; t^2-3t+2 \leq 0\; ,\t_1=1,t_2=2\\\\+++(1)---(2)+++$

$1 \leq t \leq 2\; \Rightarrow \; \; \left \{ {{log_{x+1}(2x+7) \leq 2} \atop {log_{x+1}(2x+7) \geq 1}} \right. \; ,\; \left \{ {{log_{x+1}(2x+7)-log_{x+1}(x+1)^2 \leq 0} \atop {log_{x+1}(2x+7)-log_{x+1}(x+1) \geq 0}} \right. \\\\ \left \{ {{log_{x+1}\frac{2x+7}{(x+1)^2} \leq 0} \atop {log_{x+1}\frac{2x+7}{x+1} \geq 0} \right.$

Метод рационализации:

$\left \{ {{(x+1-1)(\frac{2x+7}{(x+1)^2}-1) \leq 0} \atop {(x+1-1)(\frac{2x+7}{x+1}-1) \geq 0}} \right. \\\\a)\; \; x\cdot \frac{2x+7-x^2-2x-1}{(x+1)^2} \leq 0\; ,$

$\frac{x(6-x^2)}{(x+1)^2} \leq 0\; ,\; \frac{x(x-\sqrt6)(x+\sqrt6)}{(x+1)^2} \geq 0\\\\---[-\sqrt6]+++(-1)++(0)---[\sqrt6]+++\\\\x\in [-\sqrt6,-1)\cup (-1,0)\cup \sqrt6,+\infty )\\\\b)\; \; log_{x+1}\frac{2x+7}{x+1} \geq 0\; ,\; (x+1-1)(\frac{2x+7}{x+1}-1) \geq 0\\\\x\cdot \frac{2x+7-x-1}{x+1} \geq 0\; ,\; \frac{x(x+6)}{x+1} \geq 0\\\\---[-6]+++(-1)---(0)+++\\\\x\in [-6,-1)\cup (0,+\infty )$

$c)\; \; \left \{ {{x\in [-\sqrt6;-1)\cup (-1,0)\cup [\sqrt6,+\infty )} \atop {x\in [-6,-1)U(0,+\infty )}} \right.$

$x\in [-\sqrt6;-1)\cup [\sqrt6,+\infty )$