Question

Даны три приведённых квадратных трехчлена: P1(x), P2(x) и P3(x). Докажите, что уравнение |P1(x)| + |P2(x)| = |P3(x)| имеет не более восьми корней.

Answer 1

Каждый корень данного уравнения является корнем одного из квадратных трёхчленов  ± P1 ± P2 ± P3  с некоторым набором знаков. Таких наборов 8, и все они дают действительно квадратные трёхчлены, так как коэффициент при x2 нечётен. Однако двум противоположным наборам знаков соответствуют квадратные уравнения, имеющие одни и те же корни. Значит, все решения уравнения 
|P1(x)| + |P2(x)| = |P3(x)|  содержатся среди корней четырёх квадратных уравнений. Следовательно, их не более восьми.