Question

Решите уравнение по тригонометрии
$4cos^2(frac{5pi}{4}-x)=1$
Не пойму 4 решений или 2 должно быть

Answer 1

$4cos^2(frac{5pi}{4}-x)=1\\cos^2(frac{5pi}{4}-x)=frac{1}{4} \\cos^2 alpha = frac{1+cos2 alpha }{2}; ; Rightarrow ; ; cos^2(frac{5pi}{4}-x)= frac{1+cos(frac{5pi}{2}-2x)}{2} =frac{1}{4} \\1+cos(frac{5pi}{2}-2x)=frac{1}{2}$

$cos(frac{5pi}{2}-2x)=-frac{1}{2}; ; Rightarrow ; ; sin2x=-frac{1}{2}\\2x=(-1)^{k}arcsin(-frac{1}{2})+pi k=(-1)^{k+1}cdot frac{pi}{6}+pi k,; kin Z\\x=(-1)^{k+1}cdot frac{pi}{12}+frac{pi k}{2}; ,kin Z$

Если из уравнения  $cos^2(frac{5pi}{4}-x)=frac{1}{4}$ получить при извлечении квадратного корня два случая:

  $cos(frac{5pi }{4}-x)=pm frac{1}{2}$  , то надо потом посмотреть, какие решения накладываются друг на друга , и отбросить ненужное. Поэтому всегда лучше пользоваться формулой понижения степени, которой мы уже воспользовались, заменив квадрат косинуса на дробь.

Answer 2

Спасибо! Всё понятно. Да, я решал не формулой понижения степени, а последним, что вы написали, отчего и пришлось просить помощи здесь)