Question

вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=1/2x^2-x+1/2 и
y=-x^2+2x+5

Answer 1

Надо найти пределы интегрирования, то есть точки пересечения двух парабол. Для этого приравниваем 2 уравнения.
(1/2)x^2-x+(1/2) = -x^2+2x+5
Получаем квадратное уравнение:
(3/2)х² - 3х - (9/2) = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: 
Ищем дискриминант:D=(-3)^2-4*1.5*(-4.5)=9-4*1.5*(-4.5)=9-6*(-4.5)=9-(-6*4.5)=9-(-27)=9+27=36;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√36-(-3))/(2*1.5)=(6-(-3))/(2*1.5)=(6+3)/(2*1.5)=9/(2*1.5)=9/3=3;
x₂=(-√36-(-3))/(2*1.5)=(-6-(-3))/(2*1.5)=(-6+3)/(2*1.5)=-3/(2*1.5)=-3/3=-1.
Парабола с отрицательным коэффициентом перед х² будет выше второй, поэтому при интегрировании надо второго уравнения вычесть первое.
∫(-x^2+2x+5-((1/2)x^2-x+(1/2))dx = $- frac{3}{2} ( frac{x^3}{3} -x^2-3x)$
Подставив пределы от -1 до 3, получаем S = 16.